Limite due variabili parametrico

[domenicoap]

Ciao a tutti

Sto facendo degli esercizi con alcuni limiti parametrici che mi capiteranno nel compito di analisi ,

Esempio questo limite l ho fatto con una prof di matematica ,


$ lim_(x,y -> 0,0) (1 -cos(x^4y^(2-a)))/(xy)^a $

me lo ha fatto impostare in modo da ricondurmi al limite notevole $ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x^2 = 1/2 $

facendo questi passaggi ponendo y = mx


diventa

$ lim_(x-> 0) (1-cos(x^4m^(2-a)x^(2-a)))/(x^am^ax^a) = $

$ lim_(x-> 0) (1-cos(x^(6-a)m^(2-a)))/(x^(2a)m^a) = $



ora non scrivo tutti i passaggi anche perchè i calcoli sono anche lunghi...
io comunque avevo dei dubbi su questa risoluzione

Non cè un altro modo per svolgere questo tipo di limite?

Grazie a tutti dell attenzione

[dan952]

Con quel metodo da la cond necessaria per vedere solo per quale valore di $a$ può non esistere il limite (basta che dipendi da $m$ il risultato) ma non te lo puoi calcolare.

[domenicoap]

alla fine la prof mi dice che per

$ 6 -3a >0 $
cioe per

$ a <2 $

il limite tende a zero

quando invece

$ a > 2 $

abbiamo una forma indeterminata $ 0/0$

cioè nemmeno a me sembra una risoluzione esaustiva... boh
io però non lo sapevo nemmeno impostare..

Non è possibile risolvero con qualche altro metodo?

[dan952]

Allora puoi fare così quel metodo non è del tutto sprecato infatti se ci pensi non ti calcolca con sicurezza il limite ma può darti un candidato limite $l$ a questo studi come si comporta $|h(x,y)|=|f(x,y)-l|$ per $(x,y) \rightarrow (0,0)$
Se tende a 0 allora il limite è quello.

[dan952]

Però con un'occhiata attenta ti accorgi che per $a \leq 0$ il limite è 0

[domenicoap]

con a<0 il valori $ (xy)^a $ andrebbe al numeratore e quindi per x e y che tendendono a 0 il limite tenderebbe a zero?

[domenicoap]

ciao

Posto un altro limite simile sul quale avevo altri dubbi

allora

$ lim_(x,y -> 0,0) sin(x^3y^(2lambda ))/(x^(3lambda)+ y^(3lambda)) = 0 /0 $

questo con $y = mx$

diventa, dopo alcuni passaggi

$ lim_(x ->0) sin(x^3m^(2lambda )x^(2lambda))/(x^(3lambda)(1 + m^(3lambda)) $

... la prof mi diceva di ricondurmi sempre al limite notevole( cmq non era tanto sicura dello svolgimento)

in modo da avere lo stesso argomento del seno al denomintore moltiplicando e dividendo per la stessa quantità veniva fuori

$ lim_(x ->0) sin(x^(3 + 2lambda) m^(2lambda ))/(x^(3 +2lambda)m^(2lambda)) * (x^(3-lambda)m^(2lambda))/( 1+m^(3lambda)) $

quindi ho un limite notevole $ sinx/x = 1 $

e una quantita che per$ lambda < 3$ fa tendere il limite a zero

invece per$ lambda > 3$ il limite tende a $oo$

Secondo voi va bene questa come soluzione..

Grazie a tutti per l attenzione