Limite due variabili all'infinito (teoria)
Ciao,
mi piacerebbe esporvi un dubbio riguardo il limite a due variabili tendente all'infinito.
Il punto cruciale che mi porta a ldubbio è il fato che se ho la notazione $lim_((x,y)->oo)x*y$ questo vuol dire che trovo la famosa $||x||>k$ dove si è fissato il k(epsilon)>0 usandolacomune notazione.
A parole, in pratica, deve eseistere un valore del modulo di x, dove x si intende il vettore di componenti (x,y) che risulta maggiore di k ecc ecc...
Il punto dubbio è questo: in pratica a me non interessa come tende a infinito (cioè attraverso quale direzione) basta che esca dal cerchio di raggio k il punto. Però se io avessi una situazione del genere: $lim_((x,y)->oo)x*y$ però il tutto tende a infinito in questo modo: $lim_(x->0,y->oo)x*y$ cioè tende a infinito avvicinandosi a zero e sull'asse delle ordinate, non dovrei avere una forma indeterminata: $0*oo$?
Non riesco a districarmi da questo dubbio.
Vi ringrazio molto
mi piacerebbe esporvi un dubbio riguardo il limite a due variabili tendente all'infinito.
Il punto cruciale che mi porta a ldubbio è il fato che se ho la notazione $lim_((x,y)->oo)x*y$ questo vuol dire che trovo la famosa $||x||>k$ dove si è fissato il k(epsilon)>0 usandolacomune notazione.
A parole, in pratica, deve eseistere un valore del modulo di x, dove x si intende il vettore di componenti (x,y) che risulta maggiore di k ecc ecc...
Il punto dubbio è questo: in pratica a me non interessa come tende a infinito (cioè attraverso quale direzione) basta che esca dal cerchio di raggio k il punto. Però se io avessi una situazione del genere: $lim_((x,y)->oo)x*y$ però il tutto tende a infinito in questo modo: $lim_(x->0,y->oo)x*y$ cioè tende a infinito avvicinandosi a zero e sull'asse delle ordinate, non dovrei avere una forma indeterminata: $0*oo$?
Non riesco a districarmi da questo dubbio.
Vi ringrazio molto
Risposte
Se non sono stato chiaro ditemelo che provo a riesporre il dubbio 
Nel caso mi scuso!
Nel caso mi scuso!
Ciao, credo che il punto della situazione sia fornire una definizione di
\[
\lim_{x\to0, y\to +\infty}xy
\]
Io sinceramente non la conosco (anche perché non so come si generalizza il concetto di limite in spazi topologici/spazi metrici).
\[
\lim_{x\to0, y\to +\infty}xy
\]
Io sinceramente non la conosco (anche perché non so come si generalizza il concetto di limite in spazi topologici/spazi metrici).
Innanzitutto grazie per la risposta, ti andrebbe di chiarirmi meglio la cosa? 
Perché la mia idea era, scrivere $lim_((x,y)->+oo) xy$ (1) è in generale che: il modulo di quel valore vettoriale èsempre maggiore di un certo k fissato a prori discendente dalla epsilon. Come scrivevo nel primo post.
In che modo però (x,y) tende a infinito?Beh potrebbe tenderci per via della x che cresce e e y anche limitata, o viceversa... uno dei tanti casi portebbe essere che y vada a infinito e x tenda a zero. Non ho capito, quindi, perché dici che ha bisogno di una generalizzazione. Non rientra proprio in uno dei tanti casi di (1)?
Scusail mio essere ottuso, e grazie per la tua mano.
Ovviamente chiunque abbia voglia di intervenire è ben'accetto, dato che non riescoa capirlo da solo!
Grazie a tutti.
Perché la mia idea era, scrivere $lim_((x,y)->+oo) xy$ (1) è in generale che: il modulo di quel valore vettoriale èsempre maggiore di un certo k fissato a prori discendente dalla epsilon. Come scrivevo nel primo post.
In che modo però (x,y) tende a infinito?Beh potrebbe tenderci per via della x che cresce e e y anche limitata, o viceversa... uno dei tanti casi portebbe essere che y vada a infinito e x tenda a zero. Non ho capito, quindi, perché dici che ha bisogno di una generalizzazione. Non rientra proprio in uno dei tanti casi di (1)?
Scusail mio essere ottuso, e grazie per la tua mano.
Ovviamente chiunque abbia voglia di intervenire è ben'accetto, dato che non riescoa capirlo da solo!
Grazie a tutti.
Il $lim_((x,y) -> +oo) xy$ non esiste... Quindi non capisco il problema.
"gugo82":
Il $lim_((x,y) -> +oo) xy$ non esiste... Quindi non capisco il problema.
Esatto non esiste e mi accorgo passando a restrizioni sul dominio, quello mi è abbastanza chiaro. Tuttavia non capisco perché non possa pensare a quel limite solo come un tipo di limite ove y corre a infinito e x a zero. Ecco in quelcaso mi sembra di ridurmi a un caso specifico tra i tanti e mi troverei con $0*oo$. In realtà non so se ho ben speigato il dubbio, forse sopra ero stato più chiaro.
"lozaio":
Il punto dubbio è questo: in pratica nei limiti a due variabili a me non interessa come tende a infinito (cioè attraverso quale direzione) basta che esca dal cerchio di raggio k il punto. Però mi pondo la domanda: se io avessi una situazione del genere: $lim_((x,y)->oo)x*y$ però il tutto tende a infinito in questo modo: $lim_(x->0,y->oo)x*y$ cioè tende a infinito avvicinandosi a zero e sull'asse delle ordinate, non dovrei avere una forma indeterminata: $0*oo$?
Grazie per il tuo aiuto gugo
Non lo puoi fare perché il limite in più variabili non funziona in quel modo lì... Ma se continui a guardare un caso in cui il limite evidentemente non esiste non lo capirai mai.
In realtà non volevo dire che avessi ragione, cercavo solo di spiegare cosa non capivo per comprendere il motivo fosse sbagliato.
Ti tingrazio per le risposte
Ti tingrazio per le risposte
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