Limite due variabili
Data la funzione
$f(x,y)=1/(2x^2-y^2)$
come faccio a studiarne il comportamento in (0,0)?
Ho provato a osservare il comportamento sulle rette per l'origine e sulle parabole, cioè sostituendo $y=mx$ e $y=ax^2$, ma in questo modo direi che il limite diverge. Invece il risultato è che la funzione oscilla..
Come posso fare?
Grazie mille
$f(x,y)=1/(2x^2-y^2)$
come faccio a studiarne il comportamento in (0,0)?
Ho provato a osservare il comportamento sulle rette per l'origine e sulle parabole, cioè sostituendo $y=mx$ e $y=ax^2$, ma in questo modo direi che il limite diverge. Invece il risultato è che la funzione oscilla..
Come posso fare?
Grazie mille
Risposte
Ciao,
la funzione $1/(2x^2-y^2)$ $\nexists$ nel punto $(0,0)$ e $\nexists$ nenache il suo limite....per $(x,y)->(0,0)$ essa oscilla, questo lo si può riscontrare verificando che a seconda di come ci si avvicina (al punto in questione), la funzione si comporta diversamente...per fare alcuni esempi
se ci si avvicita al punto lungo la retta $y=+- xsqrt2$ la funzione $\nexists$, mentre per tutte le altre direzioni rette la funzione diverge ad $infty$...se, invece per esempio, consideriamo la traiettoria $y=1/x$ la nostra funzione diventa
$1/(2x^2-(1/x^2))$ ossia $x^2/(2x^4-1)$ ed in questo caso tende al valore $0$....
...quindi, come puoi vedere, la funzione in questione oscilla nel tendere a $(0,0)$ perchè non esistendo il limite, varia il suo valore a seconda di che traiettoria scegliamo nel tendere al punto.
la funzione $1/(2x^2-y^2)$ $\nexists$ nel punto $(0,0)$ e $\nexists$ nenache il suo limite....per $(x,y)->(0,0)$ essa oscilla, questo lo si può riscontrare verificando che a seconda di come ci si avvicina (al punto in questione), la funzione si comporta diversamente...per fare alcuni esempi
se ci si avvicita al punto lungo la retta $y=+- xsqrt2$ la funzione $\nexists$, mentre per tutte le altre direzioni rette la funzione diverge ad $infty$...se, invece per esempio, consideriamo la traiettoria $y=1/x$ la nostra funzione diventa
$1/(2x^2-(1/x^2))$ ossia $x^2/(2x^4-1)$ ed in questo caso tende al valore $0$....
...quindi, come puoi vedere, la funzione in questione oscilla nel tendere a $(0,0)$ perchè non esistendo il limite, varia il suo valore a seconda di che traiettoria scegliamo nel tendere al punto.
Grazie mille..il caso particolare adesso mi è chiaro..
Ma in base a cosa hai scelto il passaggio a coordinate polari e poi la traiettoria 1/x? A occhio? Oppure a seconda dei casi si può scegliere una strategia conveniente? Questo mi è meno chiaro..
Grazie ancora
Ma in base a cosa hai scelto il passaggio a coordinate polari e poi la traiettoria 1/x? A occhio? Oppure a seconda dei casi si può scegliere una strategia conveniente? Questo mi è meno chiaro..
Grazie ancora
Le coordinate polari generalmente sono molto comode quando si studia il limite a due variabili, ma comunque non sono necessarie, se rileggi il post, l'ho modificato eliminando le coordinate polari...mentre per la traiettoria $1/x$, si, l'ho "beccata" ad occhio....non esiste un metodo particolare, che io sappia!...la cosa importante è dimostrare che il limte non esiste.
Grazie tante dell'aiuto...sei stato molto chiaro..
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