Limite difficile $lim_(x->0+) (1-cos(x^alpha))/x^2$

[GiovanniP1]

Ciao
Ho risolto questo limite in questo modo ma non sono sicuro che sia giusto:

$lim_(x->0+) (1-cos(x^alpha))/x^2 = lim_(x->0+) (1-1+(x^(2*alpha))/2+o((x^(2*alpha))/2))/x^2 = 1/2*x^(2*alpha-2) = +oo$ se $alpha<1$

Potreste confermarmi se è giusto? Altrimenti in che modo avrei potuto risolverlo sto provando di tutto...

Grazie

[gugo82]

Scusa, ma il risultato di limite può dipendere dalla variabile?

Ad ogni modo, la strada è giusta quindi risolto questo piccolo problema sei a posto.
Noto che puoi anche usare il limite notevole del coseno se [tex]$\alpha >0$[/tex].

[GiovanniP1]

"gugo82":Scusa, ma il risultato di limite può dipendere dalla variabile?

Si scusa la distrazione, correggo subito... intendevo $alpha < 1$

[gugo82]

E se [tex]$\alpha \geq 1$[/tex] che succede?

E se [tex]$\alpha \leq 0$[/tex]? Puoi usare Taylor in questo caso?

[GiovanniP1]

In che modo avrei potuto usare il limite del coseno?

$lim_(x->0+) (1-cos(x))/x^2=1/2$

perchè lì c'è $x^alpha$ ...

[GiovanniP1]

se $alpha>=1$ allora risulterà un numero...
se $alpha<0$ non potevo usare taylor... credo

[gugo82]

"GiovanniP":In che modo avrei potuto usare il limite del coseno?

$lim_(x->0+) (1-cos(x))/x^2=1/2$

perchè lì c'è $x^alpha$ ...

Il limite del coseno lo puoi usare semplicemente moltiplicando e dividendo per [tex]$x^{2\alpha}$[/tex]:

[tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1-\cos x^\alpha}{x^2}=\lim_{x\to 0^+} \frac{1-\cos x^\alpha}{x^{2\alpha}}\ x^{2(\alpha -1)} =\lim_{x\to 0^+} \frac{1-\cos x^\alpha}{x^{2\alpha}}\cdot \lim_{x\to 0^+} x^{2(\alpha -1)} $[/tex],

e facendo nel primo limite all'ultimo membro la sostituzione [tex]$y=x^\alpha$[/tex].

"GiovanniP":se $alpha>=1$ allora risulterà un numero...

Quale numero? Non è difficile.

"GiovanniP":se $alpha<0$ non potevo usare taylor... credo

E certo, perchè [tex]$x^\alpha$[/tex] non è infinitesimo per [tex]$\alpha \leq 0$[/tex] quando [tex]$x\to 0^+$[/tex]...
Quindi in questo caso il limite come si risolve?

[GiovanniP1]

"gugo82":
Quale numero? Non è difficile.

E' zero, neanche l'avevo guardato

"gugo82":
[quote="GiovanniP"]se $alpha<0$ non potevo usare taylor... credo

E certo, perchè [tex]$x^\alpha$[/tex] non è infinitesimo per [tex]$\alpha \leq 0$[/tex] quando [tex]$x\to 0^+$[/tex]...
Quindi in questo caso il limite come si risolve?[/quote]

In qusto caso il numeratore è indefinito, invece sotto c'è $0$ quindi viene $+oo$

[gugo82]

"GiovanniP":[quote="gugo82"]Quale numero? Non è difficile.

E' zero, neanche l'avevo guardato[/quote]
Beh, è certamente [tex]$0$[/tex] se [tex]$\alpha >1$[/tex], ma se [tex]$\alpha =1$[/tex]?

"GiovanniP":[quote="gugo82"][quote="GiovanniP"]se $alpha<0$ non potevo usare taylor... credo

E certo, perchè [tex]$x^\alpha$[/tex] non è infinitesimo per [tex]$\alpha \leq 0$[/tex] quando [tex]$x\to 0^+$[/tex]...
Quindi in questo caso il limite come si risolve?[/quote]
In questo caso il numeratore è indefinito, invece sotto c'è $0$ quindi viene $+oo$[/quote]
Sicuro?
A me pare che il limite non esista... Guarda il comportamento del numeratore: esso si annulla infinite volte intorno a [tex]$0$[/tex] se [tex]$\alpha <0$[/tex].

[antani2]

sì possono usare due estratte se $alpha <0$ per dimostrare che il limite non esiste no? Ad esempio $a_n = 1/(2n pi)^(1/|alpha|)$ e $b_n=1/(pi+2npi)^(1/|alpha|)$...Scusate se mi intrometto ma ste cose è un po' che non le faccio e quindi un ripassino anche per me non è male...