LIMITE DIFFICILE DI FUNZIONE INTEGRALE

[Lazar1]

Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe suggerirmi i passaggi da fare per risolvere questo limite??

$L=lim_(x->0+)(int_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)^(x^2)$

Ho provato ad applicare de l'Hopital a

$e^(log(L))$ cioè mi risulta $L=lim_(x->0+)(e^((logint_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)/(1/(x^2))))$

e poi passo alle derivate ma mi risulta qualcosa di più complicato di prima e per di più l'integrale mi rimane al denominatore dopo aver applicato la regola,eppure l'unica soluzione deve essere de l'Hopital....Dovrei applicarlo in qualche altro modo??

GRAZIE MILLE!!

[Luca.Lussardi]

Io proverei un confronto asintotico del tipo $arcsen x$ asintotico a $x$ per $x \to 0$.

[Lazar1]

Potresti spiegarti meglio:come si procede col confronto asintotico?

[Lazar1]

Dovrei essere in grado di risolverlo solo con de L'Hopital perchè (me ne sono accorto ora) lo chiede espressamente!!

[sylowww]

Dopo che hai applicato il teorema di de L'Hopital all'esponente "non farti prendere dal panico". Riscrivi quello che ottieni nella forma:
-1/2 * (arcsinx^2) * (x^3)/(integrale di arcsint^2 tra 0 e x)
Applica ancora de l'Hopital al terzo fattore (questa volta l'integrale sparisce e vieni ricondotto a un limite notevole) e il gioco è fatto.

[delca85]

Io ho utilizzato de L'Hopital ed il criterio del confronto asintotico, come consigliato da Luca, ed il limite mi risulta $0$. Spero che sia giusto.
Qua trovi qualcosa sul criterio del confronto asintotico, ma sicuramente sarà spiegato meglio sul tuo libro: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_improprio.

[sylowww]

L'esponente tende a 0; quindi il risultato del limite è e^0=1.

[delca85]

Giusto scusa, avevo fatto il limite dell'esponente e poi mi ero dimenticata di finire l'esercizio.
Sì, anche a me viene $1$.

[Lazar1]

Perfetto Grazie!