LIMITE DIFFICILE DI FUNZIONE INTEGRALE
Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe suggerirmi i passaggi da fare per risolvere questo limite??
$L=lim_(x->0+)(int_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)^(x^2)$
Ho provato ad applicare de l'Hopital a
$e^(log(L))$ cioè mi risulta $L=lim_(x->0+)(e^((logint_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)/(1/(x^2))))$
e poi passo alle derivate ma mi risulta qualcosa di più complicato di prima e per di più l'integrale mi rimane al denominatore dopo aver applicato la regola,eppure l'unica soluzione deve essere de l'Hopital....Dovrei applicarlo in qualche altro modo??
GRAZIE MILLE!!
Qualcuno saprebbe suggerirmi i passaggi da fare per risolvere questo limite??
$L=lim_(x->0+)(int_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)^(x^2)$
Ho provato ad applicare de l'Hopital a
$e^(log(L))$ cioè mi risulta $L=lim_(x->0+)(e^((logint_{0}^{x} arcsin(t^2) dt)/(1/(x^2))))$
e poi passo alle derivate ma mi risulta qualcosa di più complicato di prima e per di più l'integrale mi rimane al denominatore dopo aver applicato la regola,eppure l'unica soluzione deve essere de l'Hopital....Dovrei applicarlo in qualche altro modo??
GRAZIE MILLE!!
Risposte
Io proverei un confronto asintotico del tipo $arcsen x$ asintotico a $x$ per $x \to 0$.
Potresti spiegarti meglio:come si procede col confronto asintotico?
Dovrei essere in grado di risolverlo solo con de L'Hopital perchè (me ne sono accorto ora) lo chiede espressamente!!


Dopo che hai applicato il teorema di de L'Hopital all'esponente "non farti prendere dal panico". Riscrivi quello che ottieni nella forma:
-1/2 * (arcsinx^2) * (x^3)/(integrale di arcsint^2 tra 0 e x)
Applica ancora de l'Hopital al terzo fattore (questa volta l'integrale sparisce e vieni ricondotto a un limite notevole) e il gioco è fatto.
-1/2 * (arcsinx^2) * (x^3)/(integrale di arcsint^2 tra 0 e x)
Applica ancora de l'Hopital al terzo fattore (questa volta l'integrale sparisce e vieni ricondotto a un limite notevole) e il gioco è fatto.
Io ho utilizzato de L'Hopital ed il criterio del confronto asintotico, come consigliato da Luca, ed il limite mi risulta $0$. Spero che sia giusto.
Qua trovi qualcosa sul criterio del confronto asintotico, ma sicuramente sarà spiegato meglio sul tuo libro: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_improprio.
Qua trovi qualcosa sul criterio del confronto asintotico, ma sicuramente sarà spiegato meglio sul tuo libro: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_improprio.
L'esponente tende a 0; quindi il risultato del limite è e^0=1.
Giusto scusa, avevo fatto il limite dell'esponente e poi mi ero dimenticata di finire l'esercizio.
Sì, anche a me viene $1$.
Sì, anche a me viene $1$.
Perfetto Grazie!