Limite difficile

[silvia851-votailprof]

ho il seguente limite
$lim_(x->-oo)(root(3)(2x+1))-(root(3)(2x-2))$
so benissimo che è in forma indetrminata del tipo $+oo-oo$ ma non capisco bene come svolgerlo....
secondo me dovrei fare $lim_(x->-oo)((root(3)(2x+1))-(root(3)(2x-2))*(root(3)(2x+1))+(root(3)(2x-2)))/((root(3)(2x+1))+(root(3)(2x-2)))$
penso però che sia sbagliato anche perchè poi non so come andare avanti...potete aiutarmi???

[Plepp]

Ciao. Per $x$ che diventa infinitamente "grande", ma con segno $-$, hai che
\[2x+1\sim 2x \]
e
\[2x-2\sim 2x \]
Cioè se $x$ tende a $-infty$, il fatto che ci siano il $+1$ o il $-2$ vicino a $2x$ "poco importa" . Quindi potresti riscrivere il limite come
\[\lim_{x\to-\infty}[ \sqrt[3]{2x}-\sqrt[3]{2x}]=\lim_{x\to-\infty} [0]=0\]
Non so se ti è permesso ragionare in questo modo o devi calcolare il limiti esclusivamente con espedienti algebrici.

[silvia851-votailprof]

grazie @Plepp per avermi risposto ho capito il tuo ragionamento....il problema è che però dovrei fare i calcoli....come ho scritto io quindi è sbagliato?

[Covenant]

Non è che è sbagliato, però a occhio sfruttare quel prodotto notevole ti porta poco lontano visto che hai una radice cubica e non quadrata.

[silvia851-votailprof]

infatti era quello che avevo pensato....e allora come lo sviluppo?

[silvia851-votailprof]

anche perchè poi mi confondo a sviluppare questo prodotto.... O_o

[gugo82]

Ricordiamo tutti che:
\[
u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2)
\]
giusto?

Bene, allora prendiamo \(u=\sqrt[3]{2x+1}\) e \(v=\sqrt[3]{2x-2}\) ed abbiamo:
\[
\begin{split}
\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt[3]{2x-2} &= \Big(\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt[3]{2x-2}\Big)\ \cdot\ \frac{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}} \\
& = \frac{\sqrt[3]{(2x+1)^3}-\sqrt[3]{(2x-2)^3}}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}\\
&= \frac{(2x+1)-(2x-2)}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}\\
&= \frac{3}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}
\end{split}
\]
da cui...

[silvia851-votailprof]

@gugo ti ringrazio....ma posso chiederti con quale criterio hai ritotto alla forma $(2x+1)-(2x-2)$ al numeratore?

[silvia851-votailprof]

e poi guarda che hai sbagliato i calcoli....poi diventa $3$ al numeratore no $2$

[robe921]

silvia_85 l'ha ottenuto considerando $(2x+1)$ e $(2x-2)$ come differenza di due cubi, che può essere scomposta proprio in quell'espressione sopra

[gugo82]

Ho corretto ed aggiunto un passaggio.

[silvia851-votailprof]

"gugo82":Ricordiamo tutti che:
\[
u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2)
\]
giusto?

Bene, allora prendiamo \(u=\sqrt[3]{2x+1}\) e \(v=\sqrt[3]{2x-2}\) ed abbiamo:
\[
\begin{split}
\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt[3]{2x-2} &= \sqrt[3]{2x+1}-\sqrt[3]{2x-2}\ \cdot\ \frac{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}} \\
& = \frac{\sqrt[3]{(2x+1)^3}-\sqrt[3]{(2x-2)^3}}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}\\
&= \frac{(2x+1)-(2x-2)}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}\\
&= \frac{3}{\sqrt[3]{(2x+1)^2} +\sqrt[3]{(2x+1)(2x-2)} +\sqrt[3]{(2x-2)^2}}
\end{split}
\]
da cui...

gugo82 non so come ringraziarti....senza di voi sarei persa.........

[silvia851-votailprof]

ovviamente il risultato è $0$ giusto????

[robe921]

Sì

[silvia851-votailprof]

grazie grazie e ancora grazie