Limite difficile

[raffale]

Salve a tutti ho un problema con il seguente limite $lim_(x->0) 1/[sen(x)] * {[1/[sen(tan (x)] }-1/x]$. Ho pensato di moltiplicare e dividere in modo da trovarmi $ 1/[sen(x)*tg(x)] *[{(tg(x))/[sen(tan(x))]} - tan (x)/x]$ al secondo termine applico i limiti notevoli e mi trovo 0, ma il primo termine se moltiplico è 0 e trovo una forma $[0/0]$ Come posso procedere?

[Brancaleone1]

Te la puoi cavare sviluppando i polinomi di McLaurin - trascuro gli $o(x^n)$:

$lim_(x->0) 1/sin(x)*(1/(sin[tan(x)])-1/x)=1/(sin(x)*sin[tan(x)])-1/(xsin(x))$\( \sim \)

\( \sim \)$1/((x-x^3/6)*(x+x^3/6))-1/(x^2-x^4/6)=1/(x^2-x^6/6^2)-1/(x^2-x^4/6)=(-x^4/6+x^6/36)/(x^4-x^6/6-x^8/6^2+x^10/6^3)$\( \sim \)

\( \sim \) $(-x^4/6)/(x^4)=-1/6$

[francicko]

In alternativa si può ricorrere ad Hopital applicandolo al $lim_(x->0)(x-sin (tanx))/(xsinxsin(tanx)) $ $=lim_(x->0)(x-sin (tanx))/x^3$ visto che a denominatore avendo solamente un prodotto si ha asintoticamente $xsinxtan(sinx)~~x^3$