Limite difficile
$lim_(n->infty)(e^{1/n}+ e^{2/n}+.....e^{n/n})/n=e-1$ come faccio a dimostrare in modo semplice questo limite? perchè io l'ho dimostrato ma ci ho messo tre facciate di foglio per farlo.
Risposte
Il numeratore si può scrivere come una sommatoria geometrica di ragione \(q = e^{1/n}\).
Quindi $ (1/(1-e^{1/n} ))/ n$ ?
A numeratore devi usare
\[\sum_{k=1}^n q^k = q\, \frac{1-q^n}{1-q}
\]
con \( q= e^{1/n}\).
\[\sum_{k=1}^n q^k = q\, \frac{1-q^n}{1-q}
\]
con \( q= e^{1/n}\).
$lim_(n->infty)e^{1/n}* [ (e ) * 1 -(e^{1/n})^{n}) /( 1-e^{1/n}) $ $* 1/n $ ? però rimande quel ${1/n}$ che da fastidio!
oppure potresti vederlo cosi...
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}}{n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\int_0^1 e^x\,\,dx=e-1
\end{align*}
l'ultimo limite non è altro che la somma integrale di Riemann relativa alla funzione continua $f(x):=e^x$ ottenuta partizionando l'intervallo $[0,1]$ in esattamente $n$ intervallini di ampiezza $1/n$, cioè
\begin{align*}
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}}{n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\int_0^1 e^x\,\,dx=e-1
\end{align*}
l'ultimo limite non è altro che la somma integrale di Riemann relativa alla funzione continua $f(x):=e^x$ ottenuta partizionando l'intervallo $[0,1]$ in esattamente $n$ intervallini di ampiezza $1/n$, cioè
\begin{align*}
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)
\end{align*}
"Esposito.sofia":
$lim_(n->infty)e^{1/n}* [ (e ) * 1 -(e^{1/n})^{n}) /( 1-e^{1/n}) $ $* 1/n $ ? però rimande quel ${1/n}$ che da fastidio!
Guarda il denominatore:
\[
\lim_{n\to +\infty} (1 - e^{1/n}) n = -1.
\]
ti posto un altro esempio, se vuoi cimentarti in base ai suggerimenti avuti ...
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin0+\sin\frac{\pi}{n} +\sin\frac{2\pi}{n} +...+\sin\frac{(n-1)\pi}{n} }{n} \end{align*}
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin0+\sin\frac{\pi}{n} +\sin\frac{2\pi}{n} +...+\sin\frac{(n-1)\pi}{n} }{n} \end{align*}
"Noisemaker":
oppure potresti vederlo cosi...
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{3}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}}{n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\int_0^1 e^x\,\,dx=e-1
\end{align*}
l'ultimo limite non è altro che la somma integrale di Riemann relativa alla funzione continua $f(x):=e^x$ ottenuta partizionando l'intervallo $[0,1]$ in esattamente $n$ intervallini di ampiezza $1/n$, cioè
\begin{align*}
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)
\end{align*}
Ma come si dimostra che l'esponenziale è continua?
"Rigel":
[quote="Esposito.sofia"]$lim_(n->infty)e^{1/n}* [ (e ) * 1 -(e^{1/n})^{n}) /( 1-e^{1/n}) $ $* 1/n $ ? però rimande quel ${1/n}$ che da fastidio!
Guarda il denominatore:
\[
\lim_{n\to +\infty} (1 - e^{1/n}) n = -1.
\][/quote]
Al denominatore rimane $ -1 $ , e al numeratore però $ e^{1/n}* (e ) * 1 -(e^{1/n})^{n}) $ $=1* e-e$ ?
"Noisemaker":
ti posto un altro esempio, se vuoi cimentarti in base ai suggerimenti avuti ...
\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin0+\sin\frac{\pi}{n} +\sin\frac{2\pi}{n} +...+\sin\frac{(n-1)\pi}{n} }{n} \end{align*}
Grazie mille!!!!
"Esposito.sofia":
Ma come si dimostra che l'esponenziale è continua?
La funzione esponenziale è una funzione del tipo
\begin{align*}
x\mapsto a^x,\qquad 0
e sappiamo essere strettamente crecscente per $a>1,$ strettamente decrescente per $a<1.$ Per dimostrare che essa è continua in ogni punto della retta reale, cominciamo scegliento un $x_0\in \RR$ ad arbitrio, e supponiamo per fissare le idee che sia $a>1.$ allora per ogni valore $x>x_0$ si ha che
\begin{align*}
a^x&>a^{x_0}\\
0&
dove possiamo limitarci a considerare gli $x$ compresi tra $x_0$ e $x_0+1.$ Per ciascuno di tali $x$ sia $n=n(x)$ il più grande numero naturale tale che
\begin{align*}
x-x_0\le \frac{1}{n}\qquad\Leftrightarrow\qquad n\le \frac{1}{x-x_0}
\end{align*}
cioè $n(x)$ è la parte intera del quoziente $1/( x-x_0),$ cioè
\begin{align*}
n(x)=\left[ \frac{1}{x-x_0}\right]
\end{align*}
allora abbiamo:
\begin{align*}
0< a^{x_0}\left(a^{x-x_0}-1\right)\le a^{x_0}\left(a^{\frac{1}{n(x)}}-1\right)\le a^{x_0}\frac{a-1}{n(x)}
\end{align*}
in virtù della disuguaglianza $a^{1/n}-1\le(a-1)/n.$
quando $x\to x_0$ si ha $n(x)\to +\infty$ e dunque l'ultimo rapporto scritto tende a $0$ Per il teorema del confronto si ha che
\begin{align*}
\lim_{x\to x_0} a^x-a^{x_0}=0
\end{align*}
e dunque la funzione $a^x$ è continua.
Eccellente!!! Ti ringrazio moltissimo !!! 
"Esposito.sofia":
$lim_(n->infty)e^{1/n}* [ 1 -(e^{1/n})^{n}) /( 1-e^{1/n}) $ $* 1/n $
Al denominatore rimane $ -1 $ , e al numeratore però $ e^{1/n}* (e ) * 1 -(e^{1/n})^{n}) $ $=1* e-e$ ?
Il numeratore tende a \(1-e\) (sopra ho riportato l'espressione corretta, tu ci avevi messo una \(e\) di troppo), il denominatore a \(-1\).
Grazie mille!!! Chiarissimo =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo