[Limite] Differenza di infiniti
Basta, mi arrendo... non ce la faccio proprio più.
Ho riempito intere pagine del mio quaderno (vabbè si ho la tendenza a scrivere largo quando faccio gli esercizi
) con questo limite, e non ne sono ancora venuto a capo:
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+x^2)-x)$
Ho provato in tutti i modi che mi sono venuti in mente, ma in ogni caso mi ritrovo con una forma indeterminata che non so risolvere.
So che gli infiniti sono dello stesso ordine e, per di più, so con certezza che quel limite converge al valore $1/3$. Tuttavia pur sapendolo, non riesco a trovare un modo per giungere a questo risultato (che, suppongo, sia in relazione alla radice... o non centra nulla?)
Comunque, qualsiasi cosa faccia, mi ritrovo con un $+oo*0$ che non so come aggirare...
Ho riempito intere pagine del mio quaderno (vabbè si ho la tendenza a scrivere largo quando faccio gli esercizi
) con questo limite, e non ne sono ancora venuto a capo:$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+x^2)-x)$
Ho provato in tutti i modi che mi sono venuti in mente, ma in ogni caso mi ritrovo con una forma indeterminata che non so risolvere.
So che gli infiniti sono dello stesso ordine e, per di più, so con certezza che quel limite converge al valore $1/3$. Tuttavia pur sapendolo, non riesco a trovare un modo per giungere a questo risultato (che, suppongo, sia in relazione alla radice... o non centra nulla?)
Comunque, qualsiasi cosa faccia, mi ritrovo con un $+oo*0$ che non so come aggirare...
Risposte
Forse ti conviene ricordare che $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+b^2+ab)$
"klarence":
Forse ti conviene ricordare che $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+b^2+ab)$
Grazie del suggerimento, ma non capisco: a che pro?
Trovo ancora una volta un $+oo*0$:
$root(3)(x^3+x^2) - x = (root(9)(x^3+x^2)-root(3)(x))(root(9)((x^3+x^2)^2)+root(3)(x^2)+root(9)(x^3+x^2)root(3)(x))$
Per $x->+oo$, il primo termine tende a $0$, il secondo a $+oo$... e mi ritrovo sempre lì
Diamo per buono il limite notevole $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$ per ogni $\alpha$ reale. Allora
$\root{3}{x^3+x^2}-x=x((1+1/x)^{1/3}-1)=\frac{(1+1/x)^{1/3}-1}{1/x}$
Se poni $y=1/x$ e fai tendere $y$ a zero ti ritrovi il limite notevole con $\alpha=3$.
Se conosci le tecniche con gli o piccoli i passaggi sopra si possono fare in modo piu' espressivo (e se vuoi ne riparliamo).
Lascio a Klarence l'onere di spiegarti il suo metodo ...
$\root{3}{x^3+x^2}-x=x((1+1/x)^{1/3}-1)=\frac{(1+1/x)^{1/3}-1}{1/x}$
Se poni $y=1/x$ e fai tendere $y$ a zero ti ritrovi il limite notevole con $\alpha=3$.
Se conosci le tecniche con gli o piccoli i passaggi sopra si possono fare in modo piu' espressivo (e se vuoi ne riparliamo).
Lascio a Klarence l'onere di spiegarti il suo metodo ...
"ViciousGoblin":
Diamo per buono il limite notevole $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$ per ogni $\alpha$ reale. Allora
$\root{3}{x^3+x^2}-x=x((1+1/x)^{1/3}-1)=\frac{(1+1/x)^{1/3}-1}{1/x}$
Se poni $y=1/x$ e fai tendere $y$ a zero ti ritrovi il limite notevole con $\alpha=3$.
Se conosci le tecniche con gli o piccoli i passaggi sopra si possono fare in modo piu' espressivo (e se vuoi ne riparliamo).
Lascio a Klarence l'onere di spiegarti il suo metodo ...
Grazie ancora una volta.
In un esercizio mi ero ricondotto a $lim_(x->+oo)x((1+1/x)^{1/3}-1)$, è stato uno dei primi "tentativi" che ho fatto... ma non sono riuscito ad andare oltre. E per di più ignoravo il limite notevole
Le tecniche degli o piccoli non le conosco, quasi sicuramente non sono nemmeno nel mio programma pertanto non credo che avremo il piacere di parlarne
Se non conosci il limite notevole allora probabilmente la strada indicata da klarence era quella migliore. Si fa così:
$\root{3}{x^3+x^2}-x=\frac{(\root{3}{x^3+x^2}-x)((\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2)}{(\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2}=\frac{x^3+x^2-x^3}{(\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2}=...$
($a=\root{3}{x^3+x^2}, b=x$)
$\root{3}{x^3+x^2}-x=\frac{(\root{3}{x^3+x^2}-x)((\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2)}{(\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2}=\frac{x^3+x^2-x^3}{(\root{3}{x^3+x^2})^2+x\root{3}{x^3+x^2}+x^2}=...$
($a=\root{3}{x^3+x^2}, b=x$)
"ViciousGoblin":
Diamo per buono il limite notevole $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$ per ogni $\alpha$ reale. Allora
$\root{3}{x^3+x^2}-x=x((1+1/x)^{1/3}-1)=\frac{(1+1/x)^{1/3}-1}{1/x}$
Se poni $y=1/x$ e fai tendere $y$ a zero ti ritrovi il limite notevole con $\alpha=3$.
Se conosci le tecniche con gli o piccoli i passaggi sopra si possono fare in modo piu' espressivo (e se vuoi ne riparliamo).
Lascio a Klarence l'onere di spiegarti il suo metodo ...
Scusami, puoi spiegarmi per quale motivo hai fatto diventare $x =1/(1/x)$ ????
"raffaele.russo2":
[quote="ViciousGoblin"]Diamo per buono il limite notevole $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$ per ogni $\alpha$ reale. Allora
$\root{3}{x^3+x^2}-x=x((1+1/x)^{1/3}-1)=\frac{(1+1/x)^{1/3}-1}{1/x}$
Se poni $y=1/x$ e fai tendere $y$ a zero ti ritrovi il limite notevole con $\alpha=3$.
Se conosci le tecniche con gli o piccoli i passaggi sopra si possono fare in modo piu' espressivo (e se vuoi ne riparliamo).
Lascio a Klarence l'onere di spiegarti il suo metodo ...
Scusami, puoi spiegarmi per quale motivo hai fatto diventare $x =1/(1/x)$ ????[/quote]
Credo l'abbia fatto per far sembrare più immediato all'occhio (mio
) il cambio di variabile...@Vicious: Grazie ancora una volta
Per ricondurti alla forma notevole.
$ 1/(1/x) = (1/x)^(-1) = (x^(-1))^(-1) = x^( -1 * -1 ) = x^1 = x $
$ 1/(1/x) = (1/x)^(-1) = (x^(-1))^(-1) = x^( -1 * -1 ) = x^1 = x $
La x vale [tex]\frac{1}{x}[/tex] se il limite notevole è:
[tex]\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}[/tex]
Quindi nel nostro limite la nostra x sarà [tex]\frac{1}{x}[/tex]
Praticamente si tratta della prima x che moltiplica tutto che viene portata al denominatore perchè ci serve la [tex]x=\frac{1}{x}[/tex] e se ci fai caso la x portata al denominatore è l'inversa di x cioè, [tex]\frac{1}{x}[/tex].
[tex]\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}[/tex]
Quindi nel nostro limite la nostra x sarà [tex]\frac{1}{x}[/tex]
Praticamente si tratta della prima x che moltiplica tutto che viene portata al denominatore perchè ci serve la [tex]x=\frac{1}{x}[/tex] e se ci fai caso la x portata al denominatore è l'inversa di x cioè, [tex]\frac{1}{x}[/tex].
si avevo capito che era la prima x ! sei stato piuttosto chiaro ma ho ancora una perplessità ! Alla fine si ottiene $x((1+1/(3x))-1)$ dove $1/(3x)->0$ e poi $1-1=0$ a questo punto ho $x->+oo$ che moltiplica ciò che è dentro parentesi che tende a zero !! come si procede???
Devi fare la cosa di prima $ x = 1/(1/x) $ e sei nella form del limite notevole!
$ x = 1/(1/x) $ e sei nella form del limite notevole!
"pater46":
Devi fare la cosa di prima
Beh, in realtà non è strettamente necessario: basta il cambio di variabile e il limite notevole viene da sé (rispetto alla nuova variabile). In pratica:
Posto $y=1/x$
$lim_(x->+oo) x*((1+1/x)^(1/3) -1) = lim_(y->0^+)(1/y)*((1+y)^(1/3)-1) = lim_(y->0)((1+y)^(1/3)-1)/y = 1/3$
Sbaglio qualcosa?
non sbagli, è la stessa cosa che avevo detto io ( copiando uqelli che l'avevano detto prima di me) ma senza sostituzione.
Vedo che vi state divertendo da matti
Rifaccio, per gli interessati, l'osservazione che la sostituzione $y=1/x$ trasforma il "punto limite" da infinito in zero (dove ho l'informazione datami dal limite notevole)
Rifaccio, per gli interessati, l'osservazione che la sostituzione $y=1/x$ trasforma il "punto limite" da infinito in zero (dove ho l'informazione datami dal limite notevole)
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