Limite di una successione ricorsiva

[raffolox]

Salve a tutti, sono di fronte a questo esercizio che chiede di calcolare il limite di una successione ricorsiva, per evitare ogni equivocità nella mia scrittura allego una foto della traccia. Purtroppo non so proprio cosa fare con questa successione, sono riuscito solo a dire che, se il primo termine è positivo, il numeratore cresce sempre e il denominatore decresce sempre, dunque l'intera successione è crescente e pertanto il limite è il sup del codominio della successione. Ringrazio in anticipo chiunque per un aiuto o un suggerimento


Traccia: https://www.dropbox.com/s/jtmwk31hwoto5 ... 1.jpg?dl=0

[Bremen000]

Siccome la successione è monotona e limitata (ad esempio tra 0 e 1, si verifica facilmente) essa, per un noto teorema, ammette limite finito pari al sup del codominio.

Abbiamo:

$l= lim_{n \to \infty} x_n = lim_{n \to \infty} \frac{1+x_{n-1}}{3-x_{n-1}} = \frac{1+l}{3-l}$

Giacché $l =lim_{n \to \infty} x_n = lim_{n \to \infty} x_{n-1} $.

Ma allora risulta:

$l=\frac{1+l}{3-l} \quad \Rightarrow \quad l=1$

Ciao!