Limite di una successione di funzioni
mi è data $f_n(x)=n^a x (1-x^2)^n$
prima di studiare convergenza puntuale e uniforme devo porre come condizione di esistenza $1-x^2>0$?
prima di studiare convergenza puntuale e uniforme devo porre come condizione di esistenza $1-x^2>0$?
Risposte
E perché dovresti, di grazia?
devo studiare i casi $|1-x^2|>1,<1,=1$?
Ripeto: ma perché? La funzione $f_n(x)=n^\alpha x(1-x^2)^n$ (oppure è $f_n(x)=n^{\alpha x}(1-x^2)^n$) è definita su tutto $RR$. Il calcolo del limite puntuale dipende dalla $x$ e dovresti tenere conto di come si comporta il limite di $a^n$ al variare di $a\in RR$. I valori assoluti non centrano niente, dovresti proprio vedere come è fatto $1-x^2$ poiché ci sono situazioni in cui il limite non esiste puntualmente.
"ciampax":
Ripeto: ma perché? La funzione $f_n(x)=n^\alpha x(1-x^2)^n$ (oppure è $f_n(x)=n^{\alpha x}(1-x^2)^n$) è definita su tutto $RR$. Il calcolo del limite puntuale dipende dalla $x$ e dovresti tenere conto di come si comporta il limite di $a^n$ al variare di $a\in RR$. I valori assoluti non centrano niente, dovresti proprio vedere come è fatto $1-x^2$ poiché ci sono situazioni in cui il limite non esiste puntualmente.
La funzione è $f_n(x)=n^\alpha x(1-x^2)^n$.
se $0<(1-x^2)<1$cioè $x in(-1,1)$ il $lim_(n->+oo) f_n(x)=0$ $AAa$
se $x=0,+-1$ la funzione è identicamente nulla
se $x<-1$ o $ x>1$il $lim_(n->+oo) f_n(x)=0$ se $a<0$
è giusto?
Non mi pare proprio. Indichiamo con $a=1-x^2$ (per semplicità) e consideriamo solo la successione $a_n=n^\alpha a^n$ (la $x$ che resta fuori è ininfluente, a parte quando vale zero). Ora, dobbiamo calcolare il limite della successione, al variare di $a$ e di $\alpha$. Osserviamo per prima cosa che
\[\lim_{n\to+\infty} a^n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>1\\ 1 & & a=1\\ 0 & & |a|<1\\ \textrm{non esiste} & & a\le -1
\end{array}\right.,\qquad
\lim_{n\to+\infty} n^\alpha=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & \alpha>0\\ 1 & & \alpha=0\\ 0 & & \alpha<0
\end{array}\right.\]
Un po' di conti e qualche semplice ragionamento sugli ordini di infinitesimo/infinito di tali termini ti permettono di affermare che
\[\lim_{n\to+\infty} a_n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & (a>1\ \wedge\ \alpha\in \mathbb{R}),\quad (a>1,\alpha>0)\\
1 & & a=1,\alpha=0\\
0 & & (a=1,\alpha<0),\quad (|a|<1\ \wedge\ \alpha\in \mathbb{R})\\
\textrm{non esiste} & & a\le 1\ \wedge\ \alpha\ge 0,\quad (a\le -1,\alpha<0)
\end{array}\right.\]
Hai così tutti i casi possibili che ti permettono di ragionare sulla convergenza puntuale.
\[\lim_{n\to+\infty} a^n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & a>1\\ 1 & & a=1\\ 0 & & |a|<1\\ \textrm{non esiste} & & a\le -1
\end{array}\right.,\qquad
\lim_{n\to+\infty} n^\alpha=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & \alpha>0\\ 1 & & \alpha=0\\ 0 & & \alpha<0
\end{array}\right.\]
Un po' di conti e qualche semplice ragionamento sugli ordini di infinitesimo/infinito di tali termini ti permettono di affermare che
\[\lim_{n\to+\infty} a_n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & (a>1\ \wedge\ \alpha\in \mathbb{R}),\quad (a>1,\alpha>0)\\
1 & & a=1,\alpha=0\\
0 & & (a=1,\alpha<0),\quad (|a|<1\ \wedge\ \alpha\in \mathbb{R})\\
\textrm{non esiste} & & a\le 1\ \wedge\ \alpha\ge 0,\quad (a\le -1,\alpha<0)
\end{array}\right.\]
Hai così tutti i casi possibili che ti permettono di ragionare sulla convergenza puntuale.
perchè viene $0$ quando $a<=-1,alpha<0$?
No scusa, errore mio, avrei dovuto scriverlo al rigo di sotto e l'ho messo lì! Correggo.
alla fine l'insieme di convergenza puntuale è $(-sqrt(2),sqrt(2))$ $AAa$?
Oddio, sai che non l'ho calcolato? 
Dunque, hai convergenza puntuale a zero quando $-1
Invece hai convergenza a uno quando $a=1$ e $\alpha=0$ e quindi quando $x=\pm 1$.
Per cui riassumendo
$f_n(x)\to 0$ se $x\in(-\sqrt{2},\sqrt{2}),\ \alpha\in RR$
$f_n(x)\to \pm 1$ se $x=\pm 1,\ \alpha=0$. (ma in realtà in questo caso le $f_n$ sono costanti).
Dunque, hai convergenza puntuale a zero quando $-1Invece hai convergenza a uno quando $a=1$ e $\alpha=0$ e quindi quando $x=\pm 1$.
Per cui riassumendo
$f_n(x)\to 0$ se $x\in(-\sqrt{2},\sqrt{2}),\ \alpha\in RR$
$f_n(x)\to \pm 1$ se $x=\pm 1,\ \alpha=0$. (ma in realtà in questo caso le $f_n$ sono costanti).
quando $x=+-1,0$ ho la funzione identicamente nulla indipendentemente da $alpha$
puoi dirmi se ti viene convergenza uniforme in $(-sqrt(2),sqrt(2))$ per $alpha<1/2$?
se ho convergenza uniforme in $(-sqrt(2),sqrt(2))$ allora ce l'ho in $[-1,1]$?
puoi dirmi se ti viene convergenza uniforme in $(-sqrt(2),sqrt(2))$ per $alpha<1/2$?
se ho convergenza uniforme in $(-sqrt(2),sqrt(2))$ allora ce l'ho in $[-1,1]$?
Perché mi vuoi far fare tutto l'esercizio che io le successioni di funzioni le odio?
Dunque, com'è, la convergenza uniforme si dimostra facendo vedere che la successione dei sup delle funzioni è infinitesima, giusto? Quindi, detto $A_n=sup_{(-\sqrt{2},\sqrt{2})}|f_n(x)|$ deve essere $\lim_{n\to+\infty} A_n=0$. Ora, mi pare che si abbia
$f'_n(x)=n^\alpha[(1-x^2)^n+x\cdot n(1-x^2)^{n-1}(-2x)]=n^\alpha(1-x^2)^{n-1}[1-(1+2n)x^2]$
e quindi la disequazione $f'_n(x)\ge 0$ va studiata nei due casi in cui $n=2m,\ n=2m+1$. Nel secondo caso si ha
$(1-x^2)^{2m}[1-(3+4m)x^2]\ge 0$ se e solo se $-1/{\sqrt{3+4m}}\le x\le 1/\sqrt{3+4m}$
mentre nel primo
$(1-x^2)^{2m-1}[1-(1+4m)x^2]\ge 0$ se e solo se $x\in(-\infty,-1)\cup[-1/\sqrt{1+4m},1/\sqrt{1+4m}]\cup(1,+\infty)$
Pertanto, se $n=2m$ il punto di massimo è $x=1/\sqrt{1+4m}$ (c'è anche $x=-1$ ma non ci interessa) e si ha
$A_{2m}=\frac{(2m)^\alpha}{\sqrt{1+4m}}({4m}/{1+4m})^{2m}$
mentre se $n=2m+1$ il punto di massimo è $x=-1/{\sqrt{3+4m}}$ e si ha
$A_{2m+1}=\frac{(2m+1)^\alpha}{\sqrt{3+4m}}({2+4m}/{3+4m})^{2m+1}$
In definitiva
$A_n=\frac{n^\alpha}{\sqrt{1+2n}}({2n}/{1+2n})^n$
Ora, il limite di $A_n$ dipende da $\alpha$: si vede facilmente che il termine tra parentesi ha limite $1/\sqrt{e}$ pertanto ciò che dobbiamo calcolare è il limite seguente
$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{\sqrt{1+2n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{\sqrt{2} n^{1/2}}=\lim_{n\to+\infty} 1/{\sqrt{2}}\ n^{\alpha-1/2}$
ne segue che $A_n$ è infinitesima quando $\alpha\le 1/2$ (come si vede ragionando sul limite di una potenza).
Pertanto, hai convergenza uniforme su $x\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ quando $\alpha\le 1/2$.
Ovviamente la convergenza uniforme su tale aperto assicura la convergenza uniforme su ogni compatto contenuto in esso.
P.S.: giuro che la prossima volta che ti aiuto sarà nel 2018!
Dunque, com'è, la convergenza uniforme si dimostra facendo vedere che la successione dei sup delle funzioni è infinitesima, giusto? Quindi, detto $A_n=sup_{(-\sqrt{2},\sqrt{2})}|f_n(x)|$ deve essere $\lim_{n\to+\infty} A_n=0$. Ora, mi pare che si abbia
$f'_n(x)=n^\alpha[(1-x^2)^n+x\cdot n(1-x^2)^{n-1}(-2x)]=n^\alpha(1-x^2)^{n-1}[1-(1+2n)x^2]$
e quindi la disequazione $f'_n(x)\ge 0$ va studiata nei due casi in cui $n=2m,\ n=2m+1$. Nel secondo caso si ha
$(1-x^2)^{2m}[1-(3+4m)x^2]\ge 0$ se e solo se $-1/{\sqrt{3+4m}}\le x\le 1/\sqrt{3+4m}$
mentre nel primo
$(1-x^2)^{2m-1}[1-(1+4m)x^2]\ge 0$ se e solo se $x\in(-\infty,-1)\cup[-1/\sqrt{1+4m},1/\sqrt{1+4m}]\cup(1,+\infty)$
Pertanto, se $n=2m$ il punto di massimo è $x=1/\sqrt{1+4m}$ (c'è anche $x=-1$ ma non ci interessa) e si ha
$A_{2m}=\frac{(2m)^\alpha}{\sqrt{1+4m}}({4m}/{1+4m})^{2m}$
mentre se $n=2m+1$ il punto di massimo è $x=-1/{\sqrt{3+4m}}$ e si ha
$A_{2m+1}=\frac{(2m+1)^\alpha}{\sqrt{3+4m}}({2+4m}/{3+4m})^{2m+1}$
In definitiva
$A_n=\frac{n^\alpha}{\sqrt{1+2n}}({2n}/{1+2n})^n$
Ora, il limite di $A_n$ dipende da $\alpha$: si vede facilmente che il termine tra parentesi ha limite $1/\sqrt{e}$ pertanto ciò che dobbiamo calcolare è il limite seguente
$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{\sqrt{1+2n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{\sqrt{2} n^{1/2}}=\lim_{n\to+\infty} 1/{\sqrt{2}}\ n^{\alpha-1/2}$
ne segue che $A_n$ è infinitesima quando $\alpha\le 1/2$ (come si vede ragionando sul limite di una potenza).
Pertanto, hai convergenza uniforme su $x\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ quando $\alpha\le 1/2$.
Ovviamente la convergenza uniforme su tale aperto assicura la convergenza uniforme su ogni compatto contenuto in esso.
P.S.: giuro che la prossima volta che ti aiuto sarà nel 2018!
se $alpha=1/2$ il limite non è infinitesimo?
Sì, scusa, $\alpha<1/2$.
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