Limite di una successione definita per ricorrenza dipendente da due parametri

[nine98100]

Salve a tutti, sto tentando di risolvere il seguente esercizio: Dato $ a>0 $, consideriamo la successione definita per ricorrenza da
$$
x_0=c, \ \ \ \ x_{k+1}=\frac{2}{3} (x_k+\frac{a}{x_k^2}), \ \ \ \ k=1,2,\dots \ .
$$
Trovare il limite della successione al variare del valore iniziale $ c \ne 0$ e dimostrare la convergenza.
Ora, quando $ c $ è positivo, considero la funzione $ f(x)= \frac{2}{3}(x+\frac{a}{x^2})$, che è una contrazione in $ \[f(root(3)(2a)),+\infty\[$, quindi per il teorema di Banach-Cacciopoli ammette un unico punto fisso $x_*$. Passando al limite la relazione di ricorrenza si trova:
$$
x_*=\frac{2}{3}(x_*+\frac{a}{x_*^2})
$$
e quindi $x_k -> x_*=root(3)(2a) $. Non riesco invece a trattare il caso in cui $c$ è negativo. Ringrazio chiunque saprà aiutarmi.

[dissonance]

Ti manca anche il caso in cui \(0

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[nine98100]

"dissonance":Ti manca anche il caso in cui \(0
In tal caso $x_1=f (c)\ge f((2a)^{1/3})$, ed eseguendo un cambio di indici ricadiamo nel caso $c\ge f((2a)^{1/3})$. Resta il caso $c<0$, aiuto non so come trattarlo.