Limite di una successione (criterio rapporto)

[Kemix1]

Buonasera a tutti,
sto sbattendo da un po' la testa su un limite di una successione che non riesco a risolvere utilizzando il criterio del rapporto, che è di fatto l'unico criterio risolutivo che abbiamo fatto sin'ora.
Il limite è il seguente:
$ lim_(x ->+ oo ) (n!)/(n^(sqrtn)) $
e ha come risultato $ +oo $
Utilizzando il criterio del rapporto e semplificando, arrivo a questa scrittura:
$ lim_(x ->+ oo ) ((n+1)*n^sqrtn)/((n+1)^(sqrt(n+1)) $
Che però non mi suggerisce nessun modo per proseguire.

Spero mi possiate indicare dove sbaglio o come proseguire, grazie in anticipo.

[francicko]

Beh, dal limite ottenuto applicando il criterio del rapporto mi sembra evidente che a numeratore prevale l'infinito $n^sqrtn $, a denominatore essendo $1^sqrt(n+1)=1$, prevale l'infinito $n $, quindi il limite diventa $lim_(n->infty)n^sqrtn/n $ ed essendo ovvio che $n^sqrtn $ essendo un esponenziale volgere ad infinito più velocemente di $n$, il risultato del limite e' $infty $,
credo si possa far vedere che il limite va ad $infty $ anche senza necessariamente usare il criterio del rapporto.

[Kemix1]

"francicko":Beh, dal limite ottenuto applicando il criterio del rapporto mi sembra evidente che a numeratore prevale l'infinito $n^sqrtn $, a denominatore essendo $1^sqrt(n+1)=1$, prevale l'infinito $n $, quindi il limite diventa $lim_(n->infty)n^sqrtn/n $ ed essendo ovvio che $n^sqrtn $ essendo un esponenziale volgere ad infinito più velocemente di $n$, il risultato del limite e' $infty $,
credo si possa far vedere che il limite va ad $infty $ anche senza necessariamente usare il criterio del rapporto.

Perdona l'errore di distrazione, ma avevo scritto male. Ora ho corretto l'espressione in quanto è $(n+1)^sqrt(n+1)$

[francicko]

D'accordo, allora si ha : $lim_(n->infty)((n+1)n^sqrtn)/(n (1+1/n))^sqrt(n (1+1/n)) $ $=lim_(n->infty)(n+1)n^sqrtn/(n^sqrtn) $ $=lim_(n->infty)(n+1)=infty $

[Kemix1]

"francicko":D'accordo, allora si ha : $lim_(n->infty)((n+1)n^sqrtn)/(n (1+1/n))^sqrt(n (1+1/n)) $ $=lim_(n->infty)(n+1)n^sqrtn/(n^sqrtn) $ $=lim_(n->infty)(n+1)=infty $

Non avevo pensato ad una semplificazione del genere che rende il tutto una sciocchezza, effettivamente.
A fronte del risultato ottenuto, quindi, è corretto dire che $ (n+1)^sqrt(n+1) $ ha lo stesso ordine di infinito di $ n^sqrtn $ ?
O non c'entra nulla nel discorso?

[francicko]

Sì, cioè per $n->infty$ risulta $(n+1)^sqrt (n+1)~n^sqrtn$

[Kemix1]

"francicko":Sì, cioè per $n->infty$ risulta $(n+1)^sqrt (n+1)~n^sqrtn$

Ti ringrazio per l'aiuto, esauriente ed utilissimo