Limite di una successione, conferma

[Mystikal]

Salve ragazzi, non sto riuscendo proprio a risolvere questo limite:

$\lim_{n \to +\infty}(2)^((-1)^(n)) (nsinn)/(n!+3^(n)logn$

Mi dispiace non postare nulla di concreto come risoluzione, ma non ho in mente nulla

Non vedo come applicare una stima asintotica nel seno o nel logaritmo, visto che in entrambi n non tende a 0. Dubito anche che l'approssimazione di Stirling abbia un qualche effetto. Non ho completamente idee.

Non pretendo che risolviate il limite per me, mi basta anche giusto l'idea dalla quale partire


EDIT: Ok, ho avuto un'idea, ma ho bisogno di sapere se è corretta:

Moltiplico e divido per n:
$\lim_{n \to +\infty}(2)^((-1)^(n)) (nsinn)/(n!+3^(n)logn)n/n$

E riorganizzo il limite in questo modo
$\lim_{n \to +\infty}(2)^((-1)^(n)) (n^2)/(n!+3^(n)logn)sinn/n$

Lo analizzo pezzo per pezzo:
$\lim_{n \to +\infty}(2)^((-1)^(n))$ è una quantità finita
$\lim_{n \to +\infty}sinn/n=0$ perchè $-1<=sinn<=1$,$-1/n<=sinn/n<=1/n$, criterio di convergenza

Per quanto riguarda il pezzo al centro, è un confronto fra infiniti. Non saprei dire chi ha ordine maggiore di infinito fra $n!$ o $3^nlogn$ ma, in ogni caso, sono entrambi di un ordine superiore a $n^2$, quindi:
$\lim_{n \to +\infty}(n^2)/(n!+3^(n)logn)=0$

Detto questo:
$\lim_{n \to +\infty}(2)^((-1)^(n)) (n^2)/(n!+3^(n)logn)sinn/n=$(Quantità Finita)$*0*0=0$

Mi dite se è giusto come ragionamento?

[kobeilprofeta]

all'inizio, studiando il valore assoluto,
$|a_n|<= 2*frac{n}{n!+3^n*log n}$, perche $sin n<=1$ e $2^{(-1)^n}<=2$.
poi il denominatore è asintotico a $n!$ e $frac{n}{n!} to 0$

per capire che $y=frac{a^n}{n!} to 0 AA a in RR$ pensa che sarebbe $y=frac{a*...*a}{1*2*...*n}$. Ora, sia $b$ il piú piccolo intero non minore di $a$.
Hai $y<=b/1*b/2*...*b/b*b/(b+1)*...*b/n$ e, per $n$ molto grande hai "molti meno termini prima di $b/b$ piuttosto che dopo".
Puoi allora accoppiarli (primo/ultimo, secondo/penultimo; avanzandone un po' a destra) e ottenere:
$y<=frac{b^2}{n}*frac{b^2}{2*(n-1)}*frac{b^2}{3*(n-2)}...$ ora noti che basta prendere $n>>b^2$ e ottieni che tutti i termini vanno a zero (essendo $n<2(n-1)<3(n-2)<...$).

[Mystikal]

Capito, grazie mille . Non avevo pensato di maggiorare il tutto