Limite di una successione

[tenebrikko]

buonasera vi chiedo di spiegarmi come mai il $\lim_{x \to 0^+}$ $log_a x = text{inf} log_a x = -\infty$ con a>0 percui f(x) crescente, mentre
$\lim_{x \to 0^-} log_a x = text{sup}$ $log_a x = +\infty$
io avevo capito che se il dominio è limitato in questo caso inferiormente, il limite della funzione che tende appunto all'estremo inferiore del dominio, il limite è l'estremo inferiore del codominio se la funzione è crescente, in questo caso -$infty$.. non riesco a capire questo caso con gli intorni destro e sinistro...
grazie!

[ciampax]

Io non ho capito tutta quella manfrina di domini limitati e codomini vari! Comunque, provare a verificare con la definizione che quei limiti valgano quello che hai scritto mi pare la cosa più semplice, no?

[tenebrikko]

verificando con la definizione di limite ottengo solo un intorno destro no?

[Seneca1]

Ah, è "chiaro"... Ti riferisci al teorema di esistenza del limite per funzioni monotone.

Spiega cosa non ti torna.

[tenebrikko]

bravo Seneca! in pratica non capisco come faccio ad ottenere $+ infty$ nell'intorno sinistro.. li la funzione non dovrebbe esistere! quello non mi torna perchè per il resto ci sono

[Seneca1]

"tenebrikko":$\lim_{x \to 0^-} log_a x = text{sup}$ $log_a x = +\infty$

Questa cosa da dove l'hai tirata fuori?


Se hai una funzione definita su un intervallo $] 0 , +oo [$ la quale è monotona crescente (per esempio il logaritmo naturale), allora il teorema ti dice che esistono i limiti:

$lim_(x -> 0^+) f(x)$ , $lim_(x -> +oo) f(x)$ . E sono rispettivamente l'inf e il sup dell'insieme immagine.

Essendo il suddetto logaritmo una funzione suriettiva ( $f(]0, +oo[) = RR$ ), i limiti sono immediati.


Ma andare a cercare il limite per $x -> 0^-$ è inutile se non addirittura sbagliato. Puoi prendere qualsiasi intorno sinistro del punto $0$, ma dentro non ci cade nessun punto del dominio...

[tenebrikko]

appunto non capivo! l'ho trovato putroppo tra i miei appunti grazie mille