Limite di una successione
ho una successione di cui non riesco a trovare il limite.. mi aiutate?
la successione è questa:
$x_n = sqrt(n+1) - sqrt(n)$ con $n in NN$
il limite l'ho impostato immaginando che la successione tenda a 0
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n+1) - sqrt(n) = 0 $
quindi
$|sqrt(n+1) - sqrt(n)| < \epsilon$
ma mi viene $1< \epsilon$ e non credo abbia molto senso...
la successione è questa:
$x_n = sqrt(n+1) - sqrt(n)$ con $n in NN$
il limite l'ho impostato immaginando che la successione tenda a 0
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n+1) - sqrt(n) = 0 $
quindi
$|sqrt(n+1) - sqrt(n)| < \epsilon$
ma mi viene $1< \epsilon$ e non credo abbia molto senso...
Risposte
Ma perché utilizzi la definizione di limite?
$lim_n sqrt(n) ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 ) = lim_n ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 )/sqrt(1/n)$
Ad ogni modo puoi pensare di lavorare con una funzione (anziché con una successione); e allora, con la sostituzione $1/n = x$, hai:
$lim_n ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 )/sqrt(1/n) = lim_( x -> 0 ) ( sqrt( 1 + x ) - 1 )/sqrt(x)$
Ma c'è un limite notevole molto simile, cioè: $lim_( x -> 0 ) ( sqrt( 1 + x ) - 1 )/x = 1/2$
$lim_n sqrt(n) ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 ) = lim_n ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 )/sqrt(1/n)$
Ad ogni modo puoi pensare di lavorare con una funzione (anziché con una successione); e allora, con la sostituzione $1/n = x$, hai:
$lim_n ( sqrt( 1 + 1/n ) - 1 )/sqrt(1/n) = lim_( x -> 0 ) ( sqrt( 1 + x ) - 1 )/sqrt(x)$
Ma c'è un limite notevole molto simile, cioè: $lim_( x -> 0 ) ( sqrt( 1 + x ) - 1 )/x = 1/2$
... La razionalizzazione poteva essere un'altra strada; però a me piacciono i limiti notevoli. 
perchè putroppo negli appunti l'unico metodo spiegato è questo... grazie prof! ti chiedo unaltra successione perchè non ne esco!
$x_n = (n-sin (n))/(n^3 + n^2 + 1)$
anche qui con la definizione di limite non ne esco.. ti ringrazio molto per la disponibilità![/spoiler]
$x_n = (n-sin (n))/(n^3 + n^2 + 1)$
anche qui con la definizione di limite non ne esco.. ti ringrazio molto per la disponibilità![/spoiler]
La definizione di limite si usa nei primissimi esercizi per capire se un limite già calcolato è corretto o meno. Ma poi, quando sviluppi un'algebra dei limiti, non ricorri alla definizione quando devi calcolarne uno.
Nel limite proposto basta dividere numeratore e denominatore per $n$ e ricordare che $sin(n)$ è una successione limitata.
Nel limite proposto basta dividere numeratore e denominatore per $n$ e ricordare che $sin(n)$ è una successione limitata.
aspetta.. non ho capito il primo passaggio che hai fatto!
$lim_n sqrt(n) (sqrt(1+ 1/n-1) = lim_n(sqrt (1 + 1/n)-1)/ (sqrt 1/n)$
$lim_n sqrt(n) (sqrt(1+ 1/n-1) = lim_n(sqrt (1 + 1/n)-1)/ (sqrt 1/n)$
"tenebrikko":
aspetta.. non ho capito il primo passaggio che hai fatto!
$lim_n sqrt(n) (sqrt(1+ 1/n-1) = lim_n(sqrt (1 + 1/n)-1)/ (sqrt 1/n)$
$A * B = B/(1/A)$
Anche se non sembra, il radicando a denominatore è interamente $1/n$.
successione limitata cioè che varia in un rangh definito di valori ( in questo caso -1,1), putroppo sono ancora ai primi esercisi e in ogni caso mi chiederà nell'esame di risolvere con la definizione di limite.. seccatura!!
urca mi era sfuggito! bravo!
E' molto più importante che tu sappia calcolare un limite, piuttosto che verificare la sua correttezza applicando la definizione.
credimi che lo so! però ora mi serve imparare a usare la definizione di limite.. mi chiede quella putroppo! la seconda prova avrò ben limiti da calcolare senza doverli verificare..
sono un po' arrugginito, ma mi sembra che nella verifica di limite di successione devi trovare $n \in NN$ che ti verifichi la definizione che hai dato nel tuo primo post.
nel caso del tuo primo esercizio devi trovare $n$ tale che $|sqrt(n+1)-sqrt(n)|<\epsilon$
devi quindi risolvere il sistema
${ (sqrt(n+1)-sqrt(n)< \epsilon),(sqrt(n+1)-sqrt(n)> -\epsilon):}$
troverai (probabilmente) due espressioni nella forma $n> (qualcosa)$, dovrai prendere (mi sembra) il maggiore tra i due $(qualcosa)$
edit: in questo esempio avrai forse delle condizioni in più su $n$ per colpa delle radici quadrate...
nel caso del tuo primo esercizio devi trovare $n$ tale che $|sqrt(n+1)-sqrt(n)|<\epsilon$
devi quindi risolvere il sistema
${ (sqrt(n+1)-sqrt(n)< \epsilon),(sqrt(n+1)-sqrt(n)> -\epsilon):}$
troverai (probabilmente) due espressioni nella forma $n> (qualcosa)$, dovrai prendere (mi sembra) il maggiore tra i due $(qualcosa)$
edit: in questo esempio avrai forse delle condizioni in più su $n$ per colpa delle radici quadrate...
ti ringrazio davvero
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