Limite di una successione
Buonasera,
ho una dimostrazione di analisi uno che non riesco a capire, o meglio mi e' chiara fino ad un certo punto.
L'enunciato dice "x e' un punto di accumulazione per A in $RR$ se e solo se esiste una successione a valori in A con $a_n->x$
il mio professore non da una una vera e propria dimostrazione, diciamo che arriva a questa soluzione
Partendo dal fatto che un punto di x si dice di accumulazione per A se $B(x,r)∩A$ contiene y diverso da x.
A questo punto fa vedere che x oltre ad essere punto di accumulazione e' anche il limite della successione $a_n$
prendiamo $r_1=d(x,y)$ $B(x,r_1)∩A$ contiene $y_1$ diverso da x
prendiamo $r_2=d(x,y_1)$ $B(x,r_2)∩A$ contiene $y_2$ diverso da x
e cosi via ricorsivamente fino ad ottenere una successione ${y_n}$. a questo punto avremo che $r_n
mi sfugge l'ultimo passaggio, come mai abbiamo dovuto introdurre degli intervalli inscatolati e da dove vengono fuori?
Ho controllato anche con appunti di altri miei compagni di corso ma sono tutti cosi, il mio prof da molte cose per scontate, ma credo che qui manchi proprio qualcosa, o per lo meno a me sfugge
ho una dimostrazione di analisi uno che non riesco a capire, o meglio mi e' chiara fino ad un certo punto.
L'enunciato dice "x e' un punto di accumulazione per A in $RR$ se e solo se esiste una successione a valori in A con $a_n->x$
il mio professore non da una una vera e propria dimostrazione, diciamo che arriva a questa soluzione
Partendo dal fatto che un punto di x si dice di accumulazione per A se $B(x,r)∩A$ contiene y diverso da x.
A questo punto fa vedere che x oltre ad essere punto di accumulazione e' anche il limite della successione $a_n$
prendiamo $r_1=d(x,y)$ $B(x,r_1)∩A$ contiene $y_1$ diverso da x
prendiamo $r_2=d(x,y_1)$ $B(x,r_2)∩A$ contiene $y_2$ diverso da x
e cosi via ricorsivamente fino ad ottenere una successione ${y_n}$. a questo punto avremo che $r_n
mi sfugge l'ultimo passaggio, come mai abbiamo dovuto introdurre degli intervalli inscatolati e da dove vengono fuori?
Ho controllato anche con appunti di altri miei compagni di corso ma sono tutti cosi, il mio prof da molte cose per scontate, ma credo che qui manchi proprio qualcosa, o per lo meno a me sfugge
Risposte
diciamo che l'idea dovrebbe essere questa.
Mostriamo che se $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ allora esiste una successione convergente in $x_0$
Per ipotesi $x_0$ è di accumulazione per $A$ dunque $foralldelta>0existsx inA:x inI(x_0,delta),x nex_0$
Poiché vale per ogni $delta>0$ vale anche se $delta in{1/n: n inNN^>}$ dunque scegliamo di farlo variare in tale insieme.
$delta=1 exists x_1 inA: x_1 inI(x_0,1),x_1nex_0$
$delta=1/2 exists x_2 inA: x_2 inI(x_0,1/2),x_2nex_0$
In generale $forall n inNN^> exists x_n inA:x_n inI(x_0,1/n),x_n nex_0$
Dunque abbiamo costruito una successione $(x_n)_(n inNN)$ con la proprietà che $x_n inI(x_0,1/n)$ e che $x_n ne x_0$ e che $x_n inA,forall ninNN^>$
Per tanto $0<|x_n-x_0|<1/n,foralln inNN^>$ per confronto si ha che $(x_n)->x_0$
Viceversa,
se esiste una successione di elementi di $A$ onvergente a $x_0$ allora $forallepsilon>0existsn_0inNN^>:0<|a_n-x_0|n_0$
Dunque comunque prendiamo $epsilon>0$ esisterà un valore tale per cui $a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$ comunque preso $n>n_0$ ma sappiamo che $a_n inA$ dunque stiamo dicendo che $forallepsilon>0 exists a_n inA: a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$
Sembra un po' brute force questa ultima affermazione ma se ci penso, di fatto se vale $forall n>n_0$ allora dovrà esistere certamente almeno un $a_n inA$ per cui $a_n inI(x_0,epsilon)$ e mi basta sapere proprio che esiste sempre questo $a_n$ per concludere, di fatto sappiamo che almeno uno esiste, comunque preso $epsilon>0$ e che $a_n ne x_0$
L'ho partorita ora quindi spero che sia tutto corretto.
Mostriamo che se $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ allora esiste una successione convergente in $x_0$
Per ipotesi $x_0$ è di accumulazione per $A$ dunque $foralldelta>0existsx inA:x inI(x_0,delta),x nex_0$
Poiché vale per ogni $delta>0$ vale anche se $delta in{1/n: n inNN^>}$ dunque scegliamo di farlo variare in tale insieme.
$delta=1 exists x_1 inA: x_1 inI(x_0,1),x_1nex_0$
$delta=1/2 exists x_2 inA: x_2 inI(x_0,1/2),x_2nex_0$
In generale $forall n inNN^> exists x_n inA:x_n inI(x_0,1/n),x_n nex_0$
Dunque abbiamo costruito una successione $(x_n)_(n inNN)$ con la proprietà che $x_n inI(x_0,1/n)$ e che $x_n ne x_0$ e che $x_n inA,forall ninNN^>$
Per tanto $0<|x_n-x_0|<1/n,foralln inNN^>$ per confronto si ha che $(x_n)->x_0$
Viceversa,
se esiste una successione di elementi di $A$ onvergente a $x_0$ allora $forallepsilon>0existsn_0inNN^>:0<|a_n-x_0|
Dunque comunque prendiamo $epsilon>0$ esisterà un valore tale per cui $a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$ comunque preso $n>n_0$ ma sappiamo che $a_n inA$ dunque stiamo dicendo che $forallepsilon>0 exists a_n inA: a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$
Sembra un po' brute force questa ultima affermazione ma se ci penso, di fatto se vale $forall n>n_0$ allora dovrà esistere certamente almeno un $a_n inA$ per cui $a_n inI(x_0,epsilon)$ e mi basta sapere proprio che esiste sempre questo $a_n$ per concludere, di fatto sappiamo che almeno uno esiste, comunque preso $epsilon>0$ e che $a_n ne x_0$
L'ho partorita ora quindi spero che sia tutto corretto.
"anto_zoolander":
diciamo che l'idea dovrebbe essere questa.
Mostriamo che se $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ allora esiste una successione convergente in $x_0$
Per ipotesi $x_0$ è di accumulazione per $A$ dunque $foralldelta>0existsx inA:x inI(x_0,delta),x nex_0$
Poiché vale per ogni $delta>0$ vale anche se $delta in{1/n: n inNN^>}$ dunque scegliamo di farlo variare in tale insieme.
$delta=1 exists x_1 inA: x_1 inI(x_0,1),x_1nex_0$
$delta=1/2 exists x_2 inA: x_2 inI(x_0,1/2),x_2nex_0$
In generale $forall n inNN^> exists x_n inA:x_n inI(x_0,1/n),x_n nex_0$
Dunque abbiamo costruito una successione $(x_n)_(n inNN)$ con la proprietà che $x_n inI(x_0,1/n)$ e che $x_n ne x_0$ e che $x_n inA,forall ninNN^>$
Per tanto $0<|x_n-x_0|<1/n,foralln inNN^>$ per confronto si ha che $(x_n)->x_0$
Viceversa,
se esiste una successione di elementi di $A$ onvergente a $x_0$ allora $forallepsilon>0existsn_0inNN^>:0<|a_n-x_0|n_0$
Dunque comunque prendiamo $epsilon>0$ esisterà un valore tale per cui $a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$ comunque preso $n>n_0$ ma sappiamo che $a_n inA$ dunque stiamo dicendo che $forallepsilon>0 exists a_n inA: a_n inI(x_0,epsilon),a_n nex_0$
Sembra un po' brute force questa ultima affermazione ma se ci penso, di fatto se vale $forall n>n_0$ allora dovrà esistere certamente almeno un $a_n inA$ per cui $a_n inI(x_0,epsilon)$ e mi basta sapere proprio che esiste sempre questo $a_n$ per concludere, di fatto sappiamo che almeno uno esiste, comunque preso $epsilon>0$ e che $a_n ne x_0$
L'ho partorita ora quindi spero che sia tutto corretto.
Ti ringrazio, ora è chiaro. Sai dirmi cosa sarebbe quello che ha tentato di abbozzare il mio prof?
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