Limite di una successione
grazie risolto
Risposte
Ciao 
No, il tuo approccio è sbagliato: supponendo che $lim x_n$ esista allora ogni sua sottosuccessione tende allo stesso limite, quindi se proprio vuoi sfruttare l'algebra dei limiti otterresti $1$(se il limite è finito e diverso da 0) o qualche forma indeterminata. In teoria poi non potresti nemmeno usarla l'algebra dei limiti, perché non sai se $lim x_n$ e $lim x_{n+1}$ esistono.
Comunque il suggerimento è la chiave di tutto: dimostrato quello sai che $|x_{N+m}| < \frac{x_N}{2^m}$, cioè, detto in altre parole $|x_n| < \frac{x_{N}}{2^{n - N}} = 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$, eliminando il modulo ti trovi in una situazione del genere: $-2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} < x_n < 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$, dove $2^N*x_N$ è una costante, $N$ è fissato(quindi $x_N$ è costante) e $n \in \mathbb{N}$. Passando al limite ottieni $lim_{n \to \infty} - 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}<= lim x_n <= lim_{n \to \infty} 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$ ma $ lim_{n \to \infty} 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} =lim_{n \to \infty} -2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} 0$(costante su esponenziale) e quindi $lim x_n = 0$ per i carabinieri.
Spero di non aver scritto stupidaggini.
Ciao
No, il tuo approccio è sbagliato: supponendo che $lim x_n$ esista allora ogni sua sottosuccessione tende allo stesso limite, quindi se proprio vuoi sfruttare l'algebra dei limiti otterresti $1$(se il limite è finito e diverso da 0) o qualche forma indeterminata. In teoria poi non potresti nemmeno usarla l'algebra dei limiti, perché non sai se $lim x_n$ e $lim x_{n+1}$ esistono.
Comunque il suggerimento è la chiave di tutto: dimostrato quello sai che $|x_{N+m}| < \frac{x_N}{2^m}$, cioè, detto in altre parole $|x_n| < \frac{x_{N}}{2^{n - N}} = 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$, eliminando il modulo ti trovi in una situazione del genere: $-2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} < x_n < 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$, dove $2^N*x_N$ è una costante, $N$ è fissato(quindi $x_N$ è costante) e $n \in \mathbb{N}$. Passando al limite ottieni $lim_{n \to \infty} - 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}<= lim x_n <= lim_{n \to \infty} 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n}$ ma $ lim_{n \to \infty} 2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} =lim_{n \to \infty} -2^{N} \frac{x_{N}}{2^n} 0$(costante su esponenziale) e quindi $lim x_n = 0$ per i carabinieri.
Spero di non aver scritto stupidaggini.
Ciao
"AndreaRello":
grazie risolto
[xdom="Raptorista"]Adesso non sapremo che cosa hai risolto, però!
Non cancellare il testo di un problema quando questo viene risolto, piuttosto ringrazia in un messaggio successivo![/xdom]
"Raptorista":
[quote="AndreaRello"]grazie risolto
[xdom="Raptorista"]Adesso non sapremo che cosa hai risolto, però!
Non cancellare il testo di un problema quando questo viene risolto, piuttosto ringrazia in un messaggio successivo![/xdom][/quote]
A questo punto per completezza riporto(a memoria) il testo del problema:
Sia $x_n$ una successione tale che $lim_{n \to +\infty} \frac{x_(n+1)}{x_n} = 0$. Cosa si può dire su $lim x_n$?
Ciao
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