Limite di una successione

[asromavale1]

in una dimostrazione mi trovo di fronte ad una successione $ a_n $ che viene divisa in due successioni,una con tutti i termini di indice dispari ( $ a_1,a_3,a_5,... $ ) e una con tutti i termini di indice pari ( $ a_2,a_4,a_6,... $ ).a questo punto mi dimostra che queste due successioni convergono allo stesso numero $ a $ e conclude dicendo che allora converge ad $ a $ anche la successione $ a_n $. Quello che non mi è chiaro è la conclusione.c' è forse un teorema che giustifica la conclusione della dimostrazione ?

[Emar1]

Se vediamo una successione come una funzione $f: NN^+ \to RR$ possiamo vedere le sottosuccessioni come restrizioni di tale funzione.

Il teorema che cerchi é il seguente:

Teorema. Sia \(f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), siano \(B_1, B_2 \subseteq A\) tali che \(B_1 \cup B_2=A\). Sia \(x_0 \in B_1', x_0 \in B_2'\) (punto di accumulazione per entrambi). Se:
\[\lim_{x \to x_0} f_{|B_1}(x)=\lim_{x \to x_0} f_{|B_2}(x)=l\]
allora:
\[\exists \lim_{x \to x_0} f(x), \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = l\]

Nel tuo caso gli insiemi $B_1$ e $B_2$ sono rispettivamente l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari, che sono un ricoprimento di $NN^+$ ed, entrambi, hanno come punti di accumulazione \(\infty\). Quindi si applica il teorema.

[asromavale1]

grazie