Limite di una successione
Ciao, ho un dubbio:
Stavo facendo questo ese.: trovare il limite, se esiste di: $lim_(n\to\infty)(1+7/(6n))^(\pi n)$.
Ho fatto i seguenti passaggi:
$(1+7/(6n))^(\pi n)= [(1+7/6*1/n)^n]^\pi$ e ha intuito ho detto: se $(1+7/6*1/n)^n = e$ ...se io riduco di $7/6$ infiniti suoi addendi... anche la somma si ridura' di un fattore di $7/6$. Tra l'altro, se non erro c'è la proprieta' che dice $\sum_n(a*n) = a*\sum_n n, a\in RR$, quindi invece di avere $e$, avro' $e^(7/6)$ e poi c'è l'elevamento a $\pi$... il risultato è giusto ma... perchè? come? qualcuno mi puo' spiegare ??
Stavo facendo questo ese.: trovare il limite, se esiste di: $lim_(n\to\infty)(1+7/(6n))^(\pi n)$.
Ho fatto i seguenti passaggi:
$(1+7/(6n))^(\pi n)= [(1+7/6*1/n)^n]^\pi$ e ha intuito ho detto: se $(1+7/6*1/n)^n = e$ ...se io riduco di $7/6$ infiniti suoi addendi... anche la somma si ridura' di un fattore di $7/6$. Tra l'altro, se non erro c'è la proprieta' che dice $\sum_n(a*n) = a*\sum_n n, a\in RR$, quindi invece di avere $e$, avro' $e^(7/6)$ e poi c'è l'elevamento a $\pi$... il risultato è giusto ma... perchè? come? qualcuno mi puo' spiegare ??
Risposte
Scrivilo così:
$ lim_(n-> oo ) $ $((1+(7/6)/n)^n)^pi$
ricordando il limite notevole
$lim_(n->oo)(1+a/n)^n=e^a$
$ lim_(n-> oo ) $ $((1+(7/6)/n)^n)^pi$
ricordando il limite notevole
$lim_(n->oo)(1+a/n)^n=e^a$
"gabriella127":
ricordando il limite notevole
$lim_(n->oo)(1+a/n)^n=e^a$
Hmmm... allora non me lo ero sognato questo limite notevole
Ora tutto torna! grazie mille.
PS: ma se volessi dimostrarlo? da dove potrei partire? Ci dormiro' sopra, magari la notte porta buoni consigli
Ciao BoG! No che non te lo eri sognato! Da dove partire? O lo sogni stanotte (ipotesi sconsigliata) o te lo guardi su un libro di analisi I...
"BoG":[/quote]
[quote="gabriella127"]
da dove potrei partire?
dal fatto che $(a_n)^n=\exp [n\ln a_n ].$
E' un limite notevole che più notevole non si può nemmeno col candeggio . Perciò ti dico di cercarlo su un libro di analisi.
. Perciò ti dico di cercarlo su un libro di analisi.
Mi permetto di dissentire.
Consiglio caldamente di ritenere "notevole"[nota]ciò non toglie che si debba essere in grado di giustificare in almeno un modo il perché questo limite valga...[/nota] solo \( \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac1n )^n = e \) e di partire da questo per dimostrare come esercizio che vale \( \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{a}{n} )^n = e^a \). Un suggerimento su come fare lo hai già ricevuto in questa discussione, ma c'è più di un modo per arrivarci. Provaci, non è un esercizio molto difficile. In caso tu non ci riesca, prova a chiedere qui o a cercare tra gli esercizi svolti/esempi di un testo di analisi, ma in ogni caso una volta capito "il trucco" ogni volta che ti trovi di fronte a un limite del tipo \( ( 1 + \frac{a}{n} )^n \) ti consiglio di espletare sempre tutti i passaggi per ricondurti a qualcosa in cui intervenga la forma \( ( 1 + \frac1n )^n \) primo perché eviti di commettere qualche errore dovuto all'applicazione di un procedimento meccanico in un esercizio che "ci assomigliava tanto, ma...", secondo perché il concetto di notevole sarà soggettivo, ma dubito che il secondo possa universalmente essere riconosciuto come notevole, a differenza del primo.
Il tutto è una mia opinione e in quanto tale pienamente non condivisibile
My two cents.
Consiglio caldamente di ritenere "notevole"[nota]ciò non toglie che si debba essere in grado di giustificare in almeno un modo il perché questo limite valga...[/nota] solo \( \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac1n )^n = e \) e di partire da questo per dimostrare come esercizio che vale \( \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{a}{n} )^n = e^a \). Un suggerimento su come fare lo hai già ricevuto in questa discussione, ma c'è più di un modo per arrivarci. Provaci, non è un esercizio molto difficile. In caso tu non ci riesca, prova a chiedere qui o a cercare tra gli esercizi svolti/esempi di un testo di analisi, ma in ogni caso una volta capito "il trucco" ogni volta che ti trovi di fronte a un limite del tipo \( ( 1 + \frac{a}{n} )^n \) ti consiglio di espletare sempre tutti i passaggi per ricondurti a qualcosa in cui intervenga la forma \( ( 1 + \frac1n )^n \) primo perché eviti di commettere qualche errore dovuto all'applicazione di un procedimento meccanico in un esercizio che "ci assomigliava tanto, ma...", secondo perché il concetto di notevole sarà soggettivo, ma dubito che il secondo possa universalmente essere riconosciuto come notevole, a differenza del primo.
Il tutto è una mia opinione e in quanto tale pienamente non condivisibile
My two cents.
@Epimenide Certo che il limite notevolissimo è quello che dici tu, ma bisogna ben conoscere anche la versione più generale,di cui il primo si può vedere come caso particolare, lo dicevo per sottolineare l'importanza di conoscere questi limiti e di studiarne la dimostrazione, meglio servendosi di un libro, e non considerarlo un esercizio come un'altro, da provare a svolgere nel forum e poi passare nel dimenticatoio.
Purtroppo, tra lavoro e uni, il tempo $\to\0$ Mi è sempre difficile trovare tempo per fare cose fuori corso. comunque ho provato a seguire il consiglio e vedere: $a_n = e^ln(a_n)$ e quindi ho fatto i seguenti passaggi:
$lim_(n\to\infty)(1+a/n)^n = lim_(n\to\infty)e^ln((1+a/n)^n) = lim_(n\to\infty)e^(n*ln((n+a)/n)) = lim_(n\to\infty)e^(n*ln(n+a)-lnn)= lim_(n\to\infty)e^n*e^(ln(n+a))/e^(lnn) = lim_(n\to\infty)e^n*(n+a)/n = lim_(n\to\infty) ...$
Non sono riuscito a risolverlo
Mi è sempre difficile trovare tempo per fare cose fuori corso. comunque ho provato a seguire il consiglio e vedere: $a_n = e^ln(a_n)$ e quindi ho fatto i seguenti passaggi:$lim_(n\to\infty)(1+a/n)^n = lim_(n\to\infty)e^ln((1+a/n)^n) = lim_(n\to\infty)e^(n*ln((n+a)/n)) = lim_(n\to\infty)e^(n*ln(n+a)-lnn)= lim_(n\to\infty)e^n*e^(ln(n+a))/e^(lnn) = lim_(n\to\infty)e^n*(n+a)/n = lim_(n\to\infty) ...$
Non sono riuscito a risolverlo
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