Limite di una serie: radice di 2, trovato iterativamente
Ciao,
qualcuno ha idea di come dimostrare che
lim Xn / Yn = sqr(2)
n--> ∞
con
Xn+1 = Xn + Yn
Yn+1 = 2·Xn + Yn
e
X1 = 1
Y1 = 1
Grazie.
Andrea
qualcuno ha idea di come dimostrare che
lim Xn / Yn = sqr(2)
n--> ∞
con
Xn+1 = Xn + Yn
Yn+1 = 2·Xn + Yn
e
X1 = 1
Y1 = 1
Grazie.
Andrea
Risposte
Potresti usare le apposite formule per rendere più comprensibile il testo dell'esercizio? Grazie.
Scrivendo tutto in forma matriciale hai:
\[
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}}_{\color{red}{=:A}}\ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}\; .
\]
La matrice \(A\) è diagonalizzabile?
Nel caso lo sia, puoi determinare una matrice \(P\) invertibile ed una matrice diagonale \(\Lambda\) tali che \(A=P\Lambda P^{-1}\) da cui trai:
\[
A^n =P\Lambda^nP^{-1}\; .
\]
Ma allora dalla ricorrenza si trae:
\[
\begin{split}
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} &= A\ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}\\
&=A^2\ \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{pmatrix}\\
&=A^3\ \begin{pmatrix} x_{n-2} \\ y_{n-2}\end{pmatrix}\\
&= \cdots \\
&= A^n\ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\end{pmatrix}
\end{split}
\]
ossia:
\[
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} = P\Lambda^n P^{-1}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}\; .
\]
Adesso dovrebbe essere semplice calcolare il limite del tuo rapporto.
\[
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}}_{\color{red}{=:A}}\ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}\; .
\]
La matrice \(A\) è diagonalizzabile?
Nel caso lo sia, puoi determinare una matrice \(P\) invertibile ed una matrice diagonale \(\Lambda\) tali che \(A=P\Lambda P^{-1}\) da cui trai:
\[
A^n =P\Lambda^nP^{-1}\; .
\]
Ma allora dalla ricorrenza si trae:
\[
\begin{split}
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} &= A\ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}\\
&=A^2\ \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{pmatrix}\\
&=A^3\ \begin{pmatrix} x_{n-2} \\ y_{n-2}\end{pmatrix}\\
&= \cdots \\
&= A^n\ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\end{pmatrix}
\end{split}
\]
ossia:
\[
\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix} = P\Lambda^n P^{-1}\ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}\; .
\]
Adesso dovrebbe essere semplice calcolare il limite del tuo rapporto.
Poniamo \( \displaystyle r_n=\frac{y_n}{x_n}\)
\( \displaystyle r_{n+1}=\frac{Y_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{2x_n+y_n}{x_n+y_n}=\frac{2+r_n}{1+r_n}\)
\( \displaystyle r_1=1, r_2=\frac{3}{2}\)
Se \( \displaystyle r_n \geq \frac{3}{2}\) allora, considerando che \(\displaystyle r_n \geq 1\):
\( \displaystyle r_{n+1} \geq \frac{2+\frac{3}{2}}{2}=\frac{7}{4}>\frac{3}{2}\)
Quindi \( \displaystyle r_n >\frac{3}{2}\) per \( n >1\) per induzione.
Altra induzione
\( r_1^2 <2\)
Se \( r_n^2 <2 \) abbiamo:
\( \displaystyle r_{n+1}^2=\frac{4+r_n^2+2r_n}{(1+r_n)^2}<\frac{4+2+2\sqrt{2}}{(1+\frac{3}{2})^2}=\frac{4(6+2\sqrt{2})}{25}<2\)
Quindi \( \displaystyle r_n <\sqrt{2}\) \( \forall n\)
La successione \( \displaystyle r_n \) è monotona:
\( \displaystyle r_{n+1}-r_n=\frac{2-r_n^2}{1+r_n}>0\)
La successione è dunque limitata e monotona e quindi esiste finito il limite
\(\displaystyle r=\lim r_{n+1}=\lim \frac{2+r_n}{1+r_n}=\frac{2+r}{1+r}\)
risolvendo otteniamo \( \displaystyle r^2=2\)
\( \displaystyle r_{n+1}=\frac{Y_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{2x_n+y_n}{x_n+y_n}=\frac{2+r_n}{1+r_n}\)
\( \displaystyle r_1=1, r_2=\frac{3}{2}\)
Se \( \displaystyle r_n \geq \frac{3}{2}\) allora, considerando che \(\displaystyle r_n \geq 1\):
\( \displaystyle r_{n+1} \geq \frac{2+\frac{3}{2}}{2}=\frac{7}{4}>\frac{3}{2}\)
Quindi \( \displaystyle r_n >\frac{3}{2}\) per \( n >1\) per induzione.
Altra induzione
\( r_1^2 <2\)
Se \( r_n^2 <2 \) abbiamo:
\( \displaystyle r_{n+1}^2=\frac{4+r_n^2+2r_n}{(1+r_n)^2}<\frac{4+2+2\sqrt{2}}{(1+\frac{3}{2})^2}=\frac{4(6+2\sqrt{2})}{25}<2\)
Quindi \( \displaystyle r_n <\sqrt{2}\) \( \forall n\)
La successione \( \displaystyle r_n \) è monotona:
\( \displaystyle r_{n+1}-r_n=\frac{2-r_n^2}{1+r_n}>0\)
La successione è dunque limitata e monotona e quindi esiste finito il limite
\(\displaystyle r=\lim r_{n+1}=\lim \frac{2+r_n}{1+r_n}=\frac{2+r}{1+r}\)
risolvendo otteniamo \( \displaystyle r^2=2\)
@Toti.
Era la mia strategia,questa :lol :
da te,conoscendoti un pò,m'aspettavo Cesaro,
ed a questo punto mi chiedo se valga la pena di rifletterci sù in quest'ottica..
Saluti dal web.
Era la mia strategia,questa :lol :
da te,conoscendoti un pò,m'aspettavo Cesaro,
ed a questo punto mi chiedo se valga la pena di rifletterci sù in quest'ottica..
Saluti dal web.
Forse si voleva scrivere \(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{Y_n}{X_n}=\sqrt2 \) e la dimostrazione di totissimus lo proverebbe.
Del resto, essendo sempre \(\displaystyle Y_{n}>X_n \), è certamente \(\displaystyle \frac{Y_n}{X_n}>1 \).
Detto questo, vorrei provare a dimostrare la cosa con un metodo elementare (che riecheggia in qualche punto quello già postato con le matrici) , un po' lunghetto ma utilizzabile da tutti..
Osservo dapprima che si ha:
(A) \(\displaystyle \lim_{n->\infty}\left(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\right)^n =\lim_{n->\infty}\frac{1}{(\sqrt2+1)^{2n}}=0\)
Partiamo dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} X_{n+1}=X_n+Y_n\\Y_{n+1}=2X_n+Y_n \end{cases}\)
Ora moltiplico la seconda equazione del sistema per una indeterminata \(\displaystyle \lambda \) e sommo con la prima equazione :
(B) \(\displaystyle X_{n+1}+\lambda Y_{n+1}=(1+2\lambda)X_n+(1+\lambda)Y_n \)
Cerco di trovare \(\displaystyle \lambda \) ponendo :
\(\displaystyle 1+\lambda=\lambda(1+2\lambda) \) da cui \(\displaystyle \lambda=\pm\frac{\sqrt2}{2} \)
In tal modo il primo membro della (B) divente multiplo del secondo e si ha :
(C) \(\displaystyle X_{n+1}+\lambda Y_{n+1}=(1+2\lambda)(X_n+\lambda Y_n) \)
Poniamo nella (C) n=1,2,3,...n-1,... ed abbiamo :
\(\displaystyle X_2+\lambda Y_2=(1+2\lambda)(X_1+\lambda Y_1) =(1+2\lambda)(1+\lambda) \)
\( \displaystyle X_3+\lambda Y_3=(1+2\lambda)(X_2+\lambda Y_2) \)
\(\displaystyle X_4+\lambda Y_4=(1+2\lambda)(X_3+\lambda Y_3) \)
... ... ...
\(\displaystyle X_n+\lambda Y_n=(1+2\lambda)(X_{n-1}+\lambda Y_{n-1}) \)
Moltiplicando membro a membro le ultime relazioni e semplificando nei due membri i fattori comuni, si ha :
\(\displaystyle X_n+\lambda Y_n=(1+2\lambda)^{n-1}(1+\lambda) \)
Sostituendo i valori di \(\displaystyle \lambda \) trovati si ottiene il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\displaystyle X_n+\frac{\sqrt2}{2} Y_n= (1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2}) \\X_n-\frac{\sqrt2}{2} Y_n=(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) \end{cases} \)
Risolvendo il sistema abbiamo :
\(\displaystyle \begin{cases}X_n= \frac{1}{2}\left((1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2})+(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2})\right)\\Y_n=\frac{1}{\sqrt2}\left((1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2})-(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2})\right) \end{cases} \)
Da qui risulta :
\(\displaystyle \frac{Y_n}{X_n}=\sqrt2\frac{ (1+\frac{\sqrt2}{2})-(-1)^{n-1}(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1})^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) } { (1+\frac{\sqrt2}{2})+(-1)^{n-1}(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1})^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) }\)
Passando al limite per \(\displaystyle n->\infty \) e tenendo conto della (A) si ottiene alla fine che :
\(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{Y_n}{X_n}=\sqrt2 \)
Del resto, essendo sempre \(\displaystyle Y_{n}>X_n \), è certamente \(\displaystyle \frac{Y_n}{X_n}>1 \).
Detto questo, vorrei provare a dimostrare la cosa con un metodo elementare (che riecheggia in qualche punto quello già postato con le matrici) , un po' lunghetto ma utilizzabile da tutti..
Osservo dapprima che si ha:
(A) \(\displaystyle \lim_{n->\infty}\left(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\right)^n =\lim_{n->\infty}\frac{1}{(\sqrt2+1)^{2n}}=0\)
Partiamo dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} X_{n+1}=X_n+Y_n\\Y_{n+1}=2X_n+Y_n \end{cases}\)
Ora moltiplico la seconda equazione del sistema per una indeterminata \(\displaystyle \lambda \) e sommo con la prima equazione :
(B) \(\displaystyle X_{n+1}+\lambda Y_{n+1}=(1+2\lambda)X_n+(1+\lambda)Y_n \)
Cerco di trovare \(\displaystyle \lambda \) ponendo :
\(\displaystyle 1+\lambda=\lambda(1+2\lambda) \) da cui \(\displaystyle \lambda=\pm\frac{\sqrt2}{2} \)
In tal modo il primo membro della (B) divente multiplo del secondo e si ha :
(C) \(\displaystyle X_{n+1}+\lambda Y_{n+1}=(1+2\lambda)(X_n+\lambda Y_n) \)
Poniamo nella (C) n=1,2,3,...n-1,... ed abbiamo :
\(\displaystyle X_2+\lambda Y_2=(1+2\lambda)(X_1+\lambda Y_1) =(1+2\lambda)(1+\lambda) \)
\( \displaystyle X_3+\lambda Y_3=(1+2\lambda)(X_2+\lambda Y_2) \)
\(\displaystyle X_4+\lambda Y_4=(1+2\lambda)(X_3+\lambda Y_3) \)
... ... ...
\(\displaystyle X_n+\lambda Y_n=(1+2\lambda)(X_{n-1}+\lambda Y_{n-1}) \)
Moltiplicando membro a membro le ultime relazioni e semplificando nei due membri i fattori comuni, si ha :
\(\displaystyle X_n+\lambda Y_n=(1+2\lambda)^{n-1}(1+\lambda) \)
Sostituendo i valori di \(\displaystyle \lambda \) trovati si ottiene il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\displaystyle X_n+\frac{\sqrt2}{2} Y_n= (1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2}) \\X_n-\frac{\sqrt2}{2} Y_n=(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) \end{cases} \)
Risolvendo il sistema abbiamo :
\(\displaystyle \begin{cases}X_n= \frac{1}{2}\left((1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2})+(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2})\right)\\Y_n=\frac{1}{\sqrt2}\left((1+\sqrt2)^{n-1}(1+\frac{\sqrt2}{2})-(1-\sqrt2)^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2})\right) \end{cases} \)
Da qui risulta :
\(\displaystyle \frac{Y_n}{X_n}=\sqrt2\frac{ (1+\frac{\sqrt2}{2})-(-1)^{n-1}(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1})^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) } { (1+\frac{\sqrt2}{2})+(-1)^{n-1}(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1})^{n-1}(1-\frac{\sqrt2}{2}) }\)
Passando al limite per \(\displaystyle n->\infty \) e tenendo conto della (A) si ottiene alla fine che :
\(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{Y_n}{X_n}=\sqrt2 \)
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