Limite di una serie a termini positivi

[Benny24]

Si provi che la serie $\sum_{n=2}^infty n*e^(-n)*arctg(n)$ non supera il valore pigreco/e.
Ho già verificato che è convergente, ma non so come procedere, l'integrale di quella funzione associata è improponibile!

[strangolatoremancino]

Vedendo la tua serie e la tesi da dimostrare mi è tornato in mente questo risultato visto non mi ricordo dove

http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling

e qui ci scappa pure l'arcotangente

http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling#Una_versione_convergente_della_formula_di_Stirling

però non ho la più pallida idea ne del se ne del come ti possa servire

[Benny24]

Grazie, vedo se è possibile cavarne fuori qualcosa.

[gugo82]

Prova a maggiorare l'arcotangente e poi a stabilire la somma della serie $\sum n*e^(-n)$...

Non ho fatto conti, però questo metodo dovrebbe darti un'ottima maggiorazione.


P.S.: Praticamente ti sto suggerendo di usare la disuguaglianza di Hölder per i prodotti di elementi $l^1$ ed $l^oo$:

Se $a=(a_n)\in l^1$ e $b=(b_n) \in l^oo$, allora $(a_nb_n) \in l^1$ e risulta:

$\quad \sum_(n=0)^(+oo) |a_nb_n| <= ("sup"_(n \in NN) |b_n| )*\sum_(n=0)^(+oo) |a_n|$

(in altri simboli $||ab||_1<=||a||_1*||b||_oo$).

[ViciousGoblin]

Effettivamente mi pare che, come dice Gugo82, si abbia
$\sum_2^\infty n e^{-n}<2/e$
Tale serie si puo' calcolare dato che e' la serie di potenze $\sum_2^\infty n x^n$ calcolata in $x=1/e$
Con i soliti calcoli viene
$\sum_2^\infty n x^n=x\sum_2^\infty n x^{n-1}=x\frac{d}{dx}\sum_2^\infty x^n=x\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x}-1-x)=\frac{x}{(1-x)^2}-x$

Quindi $\sum_2^\infty n e^{-n}=\frac{1/e}{(1-1/e)^2}-1/e=\frac{1}{e}(\frac{e^2}{(e-1)^2}-1)=\frac{1}{e}\frac{2e-1}{(e-1)^2}$

Mi sembra che $\frac{2e-1}{(e-1)^2}<2$ (anche se e' abbastanza a pelo).

[ciampax]

Bè, l'ultima viene

$\frac{2e-1}{(e-1)^2}=\frac{2(e-1)+1}{(e-1)^2}=\frac{2}{e-1}+\frac{1}{(e-1)^2}<1+1=2$.

Cavolo VG, ti perdi nelle addizioni? (ovviamente scherzo!)

[ViciousGoblin]

"ciampax":Bè, l'ultima viene

$\frac{2e-1}{(e-1)^2}=\frac{2(e-1)+1}{(e-1)^2}=\frac{2}{e-1}+\frac{1}{(e-1)^2}<1+1=2$.

Cavolo VG, ti perdi nelle addizioni? (ovviamente scherzo!)

SPESSISSIMO (per cui non mi offendo mai se uno me lo fa notare - all'inizio, circa un'anno fa Gugo82 mi aveva preso di mira ... ).

[gugo82]

"ViciousGoblin":[quote="ciampax"]Bè, l'ultima viene

$\frac{2e-1}{(e-1)^2}=\frac{2(e-1)+1}{(e-1)^2}=\frac{2}{e-1}+\frac{1}{(e-1)^2}<1+1=2$.

Cavolo VG, ti perdi nelle addizioni? (ovviamente scherzo!)

SPESSISSIMO (per cui non mi offendo mai se uno me lo fa notare - all'inizio, circa un'anno fa Gugo82 mi aveva preso di mira ... ).[/quote]
Davvero... Non mi ricordavo.

Eccomunquetivogliobbene.