Limite di una serie
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e mi sono venuti un pò di dubbi:
$\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) $.
L'esercizio dà come "dato" che $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n) = S$ e chiede di determinare a quanto converge la serie di partenza.
E' giusto dire che la serie di partenza converge a 0? Perchè io posso separare la serie come $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) = \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_n - \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_(n+1) $ e dire che quella di $a_n$ converge ad S ma anche quella di $a_(n+1)$ mi è venuto in mente.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
$\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) $.
L'esercizio dà come "dato" che $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n) = S$ e chiede di determinare a quanto converge la serie di partenza.
E' giusto dire che la serie di partenza converge a 0? Perchè io posso separare la serie come $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) = \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_n - \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_(n+1) $ e dire che quella di $a_n$ converge ad S ma anche quella di $a_(n+1)$ mi è venuto in mente.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Veramente:
$\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^n(a_n-a_(n+1))=$
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n-\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_(n+1)=$
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n-\sum_{n=3}^{+oo}(-1)^(n-1)a_n=$
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n-\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^(n-1)a_n+a_2=$
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n+\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n+a_2=$
$=2\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n+a_2$
"anonymous_0b37e9":
Veramente:
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n-\sum_{n=3}^{+oo}(-1)^(n-1)a_n=$
Come hai fatto a scrivere $(-1)^(n-1)$, aumentare l'indice di sommatoria e scrivere $a_n$? Forse mi starò perdendo in banalità ma non riesco a capirlo.
"anonymous_0b37e9":
Veramente:
$=\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n+\sum_{n=2}^{+oo}(-1)^na_n+a_2=$
Non dovrebbe essere $-a_2$?
"Gianluk3":
E' giusto dire che la serie di partenza converge a 0? Perchè io posso separare la serie come $\sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * (a_n - a_(n+1)) = \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_n - \sum_{n=2}^ ∞ (-1)^n * a_(n+1) $ e dire che quella di $a_n$ converge ad S ma anche quella di $a_(n+1)$
No, non funziona perché la somma $S$ di una serie dipende dal numero di termini che stai sommando: ad esempio, posto $a_k=\frac{1}{k!}$ è noto che
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=e$$
Ma allora $a_{k+1}=\frac{1}{(k+1)!}$ e quindi è
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{0!}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}-1=e-1$$
Dove ho "inglobato" il termine $\frac{1}{0!}$ nella serie che parte da $k=1$, per farla partire da $k=0$.
Quindi non è vero che le due serie di $(-1)^n a_n$ e $(-1)^n a_{n+1}$ hanno stessa somma $S$.
"Mephlip":[/quote]
[quote="Gianluk3"]
Ma allora $a_{k+1}=\frac{1}{(k+1)!}$ e quindi è
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{0!}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}-1=e-1$$
Dove ho "inglobato" il termine $\frac{1}{0!}$ nella serie che parte da $k=1$, per farla partire da $k=0$.
Il ragionamento mi è chiaro, però non capisco perchè hai scritto $\frac{1}{0!}-\frac{1}{0!}$.
Perché voglio ricondurre la somma della serie di $\frac{1}{(k+1)!}$ a quella di $\frac{1}{k!}$, che conosco; per farlo, devo riscrivere quel $(k+1)!$ a denominatore come $k!$. Mi accorgo che
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$$
Quindi l'unico termine che mi manca nella seconda serie è proprio $\frac{1}{0!}$, perciò lo aggiungo e lo tolgo (così sto aggiungendo $0$ e non sto cambiando nulla).
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$$
Quindi l'unico termine che mi manca nella seconda serie è proprio $\frac{1}{0!}$, perciò lo aggiungo e lo tolgo (così sto aggiungendo $0$ e non sto cambiando nulla).
Ahhhhh! Perfetto, ora è tutto chiaro.
Per caso sapresti rispondermi a ciò che ho domandato a Sergeant Elias? Perchè con le operazioni tra serie "letterarie" non riesco a giostrarmi molto e ho un pò di fatica nel capire.
Altrimenti attendo una sua risposta. Grazie lo stesso perchè mi hai chiarito un dubbio che non avevo considerato.
Per caso sapresti rispondermi a ciò che ho domandato a Sergeant Elias? Perchè con le operazioni tra serie "letterarie" non riesco a giostrarmi molto e ho un pò di fatica nel capire.
Altrimenti attendo una sua risposta. Grazie lo stesso perchè mi hai chiarito un dubbio che non avevo considerato.
Prego! È corretto come ha scritto Sergeant Elias: anche lì puoi fare lo stesso ragionamento che ho fatto dell'aggiungere e sottrarre, ma col termine $a_2$; in questo caso c'è un segno meno davanti alla serie, quindi devi inglobare nella serie il termine con segno meno lasciando fuori quello con segno più.
Comunque, inizialmente può essere utile sostituire: ponendo $m=n+1$, hai che $n=m-1$ e perciò $(-1)^n a_{n+1}=(-1)^{m-1}a_m$ e, dato che $n \in {2,3,...}$, risulta $m \in {3,4,...}$.
Poi, notando che $(-1)^{m-1}=(-1)^m \cdot (-1)$ e che puoi portare il $-1$ fuori dalla serie come fattore moltiplicativo (perché non dipende da $m$), ottieni quella forma che ha scritto Sergeant Elias.
Puoi richiamare poi $m$ nuovamente $n$, perché è solo un indice che ti dice cosa si sta sommando e in quale insieme si sta sommando; effettuata la somma sparirà, quindi puoi chiamarlo come vuoi se non ha un ruolo ben preciso. È un cosiddetto "indice muto".
In generale può aiutare scrivere esplicitamente i primi termini della serie, per vedere "con le mani" cosa sta succedendo.
Comunque, inizialmente può essere utile sostituire: ponendo $m=n+1$, hai che $n=m-1$ e perciò $(-1)^n a_{n+1}=(-1)^{m-1}a_m$ e, dato che $n \in {2,3,...}$, risulta $m \in {3,4,...}$.
Poi, notando che $(-1)^{m-1}=(-1)^m \cdot (-1)$ e che puoi portare il $-1$ fuori dalla serie come fattore moltiplicativo (perché non dipende da $m$), ottieni quella forma che ha scritto Sergeant Elias.
Puoi richiamare poi $m$ nuovamente $n$, perché è solo un indice che ti dice cosa si sta sommando e in quale insieme si sta sommando; effettuata la somma sparirà, quindi puoi chiamarlo come vuoi se non ha un ruolo ben preciso. È un cosiddetto "indice muto".
In generale può aiutare scrivere esplicitamente i primi termini della serie, per vedere "con le mani" cosa sta succedendo.
"Mephlip":
Prego! È corretto come ha scritto Sergeant Elias: anche lì puoi fare lo stesso ragionamento che ho fatto dell'aggiungere e sottrarre, in questo caso col termine $a_2$; in questo caso c'è un segno meno davanti alla serie, quindi devi inglobare nella serie il termine con segno meno lasciando fuori quello con segno più.
Comunque, inizialmente può essere utile sostituire: ponendo $m=n+1$, hai che $n=m-1$ e perciò $(-1)^n a_{n+1}=(-1)^{m-1}a_m$ e, dato che $n \in {2,3,...}$, risulta $m \in {3,4,...}$.
Poi, notando che $(-1)^{m-1}=(-1)^m \cdot (-1)$ e che puoi portare il $-1$ fuori dalla serie a moltiplicarla (perché non dipende da $m$), ottieni quella forma che ha scritto Sergeant Elias.
Puoi richiamare poi $m$ nuovamente $n$, perché è solo un indice che ti dice cosa si sta sommando e in quale insieme si sta sommando; effettuata la somma sparirà, quindi puoi chiamarlo come vuoi se non ha un ruolo ben preciso. È un cosiddetto "indice muto".
In generale può aiutare scrivere esplicitamente i primi termini della serie, per vedere "con le mani" cosa sta succedendo.
Okk. Allora ho un'ultima domanda: come fa ad ottenere $+ a_2$? Perchè per come ho pensato io, quando abbassi l'indice di sommatoria, il termine che viene fuori è col segno $-$.
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