Limite di una funzione vettoriale
Ciao a tutti! Ho un problema nella comprensione della dimostrazione della seguente proposizione:
Siano A un sottoinsieme di $RR^n$, f funzione definita in A a valori in $RR^m$ e $x_0$ un punto di accumulazione per A. Allora esiste il $lim_(x->x_0)(f(x))$ se e solo se esistono i limiti $lim_(x->x_0)(f_1(x))$ , ...., $lim_(x->x_0)(f_m(x))$.
Inoltre, in caso di esistenza, vale la formula $lim_(x->x_0)(f(x))$=($lim_(x->x_0)(f_1(x))$ , ...., $lim_(x->x_0)(f_m(x))$)
Il testo che sto seguendo prima dimostra (supponendo che f abbia limite l=($l_1$,...,$l_m$) ) che $f_1$ abbia limite $l_1$ , poi viceversa dimostar (supponendo che che le funzioni $f_1$,...,$f_m$ abbiano limite $l_1$,...,$l_m$ ) che f ha limite l=($l_1$,...,$l_m$)
Nella seconda parte della dimostarzione si arriva alla seguente conclusione:
per i=1,...,m $|f_i(x)-l_i|$ $<=$ $\epsilon$
Per tali x abbiamo allora
$|f(x)-l|$=$((f_1(x)-l_1)^2+...+(f_m(x)-l_m)^2)^[1/2]$ $<=$ $(epsilon^2+...+epsilon^2)^[1/2]$=$epsilonsqrt(m)$
Perchè eleva al quadrato e alla 1/2??non capisco quest'ultimo passaggio...
Grazie anticipatamente...(spero di essere stata chiara!)
Siano A un sottoinsieme di $RR^n$, f funzione definita in A a valori in $RR^m$ e $x_0$ un punto di accumulazione per A. Allora esiste il $lim_(x->x_0)(f(x))$ se e solo se esistono i limiti $lim_(x->x_0)(f_1(x))$ , ...., $lim_(x->x_0)(f_m(x))$.
Inoltre, in caso di esistenza, vale la formula $lim_(x->x_0)(f(x))$=($lim_(x->x_0)(f_1(x))$ , ...., $lim_(x->x_0)(f_m(x))$)
Il testo che sto seguendo prima dimostra (supponendo che f abbia limite l=($l_1$,...,$l_m$) ) che $f_1$ abbia limite $l_1$ , poi viceversa dimostar (supponendo che che le funzioni $f_1$,...,$f_m$ abbiano limite $l_1$,...,$l_m$ ) che f ha limite l=($l_1$,...,$l_m$)
Nella seconda parte della dimostarzione si arriva alla seguente conclusione:
per i=1,...,m $|f_i(x)-l_i|$ $<=$ $\epsilon$
Per tali x abbiamo allora
$|f(x)-l|$=$((f_1(x)-l_1)^2+...+(f_m(x)-l_m)^2)^[1/2]$ $<=$ $(epsilon^2+...+epsilon^2)^[1/2]$=$epsilonsqrt(m)$
Perchè eleva al quadrato e alla 1/2??non capisco quest'ultimo passaggio...
Grazie anticipatamente...(spero di essere stata chiara!)
Risposte
è la formula per trovare il modulo di un vettore... attraverso le componenti. pensa a come si trova, con il teorema di Pitagora, la lunghezza della diagonale di un parallelepipedo rettangolo...
elevare ad 1/2 equivale a trovare la radice quadrata.
la sostituzione di epsilon nella diseguaglianza non dovrebbe averti spaventato.
dentro parentesi c'è scritto la somma di m volte il quadrato di epsilon, in formule:
$(m*epsilon^2)^(1/2) = sqrt(m*epsilon^2) = epsilon*sqrt(m)$, mi sembra chiaro. quali sono i tuoi dubbi? ciao.
elevare ad 1/2 equivale a trovare la radice quadrata.
la sostituzione di epsilon nella diseguaglianza non dovrebbe averti spaventato.
dentro parentesi c'è scritto la somma di m volte il quadrato di epsilon, in formule:
$(m*epsilon^2)^(1/2) = sqrt(m*epsilon^2) = epsilon*sqrt(m)$, mi sembra chiaro. quali sono i tuoi dubbi? ciao.
era così semplice....grazie mille!!
prego!
Il valore assoluto nell'ultima formula sta per la norma euclidea in $RR^m$..che espicitata dà proprio la formula che hai.
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