Limite di una funzione (taylor) compito d'esame,che ne dite?

[smaug1]

$\lim_{x->0^+} \frac{e^{2x} \log (1+ 4x) - \sin (4x)}{\log (1 + 1/x^3) - \log (1/x^3)}$

Al denominatore uso la regola dei logaritmi: $\log (\frac{1 + 1/x^3}{(1/x^3)})= \log (1 + x^3) \sim x^3 $ no?

Per fare in modo che al numeratore mi rimanga un termine con $x^3$ devo sviluppare l'esponenziale ed il logaritmo al primo ordine? mentre il seno al terzo?

$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + 4/3 x^3 + o(x^3)$

$\log (1 + 4x) = 4x - 8x^2 + 64/3 x^3 + o(x^3)$

$\ sin (4x) = 4x - 32 / 3 x^3 + o(x^3)$

Sembrerà facile ma ho dei dubbi, ogni volta che dovete risolvere un limite con taylor quali sono le cose fondamentali da guardare per capire come risolverlo?

Grazie

[smaug1]

$((1 + 2x + 2x^2 + 4/3 x^3)(4x - 8x^2 + 64/3 x^3) - 4x + 32 / 3 x^3) / x^3 = 24$

Trascurando gli $o(x^3)$