Limite di una funzione logartimica
Salve a tutti. Non riesco a risolvere questi limiti, secondo me anche banali, che mi ritrovo mentre svolgo lo studio di funzione, in particolare quando faccio lo studio agli estremi del dominio.
$lim_(x->-1^+)log((x^2-1)/x)$
$lim_(x->0^-)log((x^2-1)/x)$
$lim_(x->1^+)log((x^2-1)/x)$
Avevo pensato di scomporre la funzione logaritmo così:
$log((x^2-1)/x)=log(x^2-1)-log(x)$
ma poi sbatto contro $lim_(x->-1^+)log(x)$ e $lim_(x->0^-)log(x^2-1)$
mentre il terzo mi uscirebbe:
$lim_(x->1^+)log((x^2-1)/x)=lim_(x->1^+)log(x^2-1)-lim_(x->1^+)log(x)=-oo-log(1)=-oo$
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo.
$lim_(x->-1^+)log((x^2-1)/x)$
$lim_(x->0^-)log((x^2-1)/x)$
$lim_(x->1^+)log((x^2-1)/x)$
Avevo pensato di scomporre la funzione logaritmo così:
$log((x^2-1)/x)=log(x^2-1)-log(x)$
ma poi sbatto contro $lim_(x->-1^+)log(x)$ e $lim_(x->0^-)log(x^2-1)$
mentre il terzo mi uscirebbe:
$lim_(x->1^+)log((x^2-1)/x)=lim_(x->1^+)log(x^2-1)-lim_(x->1^+)log(x)=-oo-log(1)=-oo$
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao. La proprietà: $\log(a/b)=\log a - \log b$ è applicabile solo quando ha senso, cioè quando $a>0$ e $b>0$
(e conseguentemente $ab>0$).
I limiti li calcoli facendo riferimento ai limiti della funzione logaritmo (suppongo che con $log$ indichi quello neperiano, io uso $ln$) agli estremi del suo dominio, cioè [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln x=-\infty[/tex] e [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln x=+\infty[/tex].
Per $x \rightarrow 0^(-)$ l'argomento del logaritmo tende a $+\infty$, mentre per $x \rightarrow \pm 1^+$ tende (l'argomento) a $0^+$.
Se vuoi fare le cose per bene chiami $t=(x^2-1)/x$ e sostituisci.
(e conseguentemente $ab>0$).
I limiti li calcoli facendo riferimento ai limiti della funzione logaritmo (suppongo che con $log$ indichi quello neperiano, io uso $ln$) agli estremi del suo dominio, cioè [tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln x=-\infty[/tex] e [tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\ln x=+\infty[/tex].
Per $x \rightarrow 0^(-)$ l'argomento del logaritmo tende a $+\infty$, mentre per $x \rightarrow \pm 1^+$ tende (l'argomento) a $0^+$.
Se vuoi fare le cose per bene chiami $t=(x^2-1)/x$ e sostituisci.
Ciao enrikor, anche se vedi il nome scritto in verde io sono qui per imparare come te, quindi pesa bene le mie parole.
Fatta questa premessa la ragionerei cosi:
$lim_(x ->1^+) ln((x^2-1)/x)$
cosa succede se alla mia x sostituisco valori molto vicini a 1 ma di poco poco maggiori di 1? Allora $x^2$ sarà ancora maggiore di 1 anche se di una quantità ancora più piccola e quindi se gli tolgo 1 mi resta qualcosa di molto piccolo ma positivo, $0^+$ va bene? al numeratore ho un valore positivo e di poco, pochissimo maggiore di 1, alla fine l'argomento del logaritmo è un numero piccolissimo ma positivo, dunque la funzione tende a $-oo$
Ti sembra convincente?
Fatta questa premessa la ragionerei cosi:
$lim_(x ->1^+) ln((x^2-1)/x)$
cosa succede se alla mia x sostituisco valori molto vicini a 1 ma di poco poco maggiori di 1? Allora $x^2$ sarà ancora maggiore di 1 anche se di una quantità ancora più piccola e quindi se gli tolgo 1 mi resta qualcosa di molto piccolo ma positivo, $0^+$ va bene? al numeratore ho un valore positivo e di poco, pochissimo maggiore di 1, alla fine l'argomento del logaritmo è un numero piccolissimo ma positivo, dunque la funzione tende a $-oo$
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