Limite di una funzione integrale

[Controllore1]

Ragazzi, ieri vi ho postato lo stesso esercizio ma nessuno mi ha aiutato... Volevo sapere come impostare il $ lim_(x -> oo) int_(x)^(x+5) (2t+cost) / (t-4) dt $... Una volta impostato, poi dovrei capirci qualcosa ma non so proprio da che parte iniziare... Non posso usare il De Hopital... Avete dei suggerimenti???

[dissonance]

[mod="dissonance"]Questo si chiama crossposting e qui non è consentito - vedi regolamento (clic):

3.16 Non è consentito il crossposting, cioè postare lo stesso messaggio o parti di esso in più aree del forum. I messaggi ripetuti verranno eliminati.

Che non si ripeta, per favore. Grazie. [/mod]

Comunque. Si, in questi casi l'Hôpital è la prima cosa che viene in mente ma qui non ci aiuta granché. Invece, proviamo a fare un discorso più creativo. Disegniamo il grafico della funzione integranda per $x$ grande:
[asvg]xmin=0; xmax=50; axes(); plot("(2x+cos(x))/(x-4)"); stroke="lightgrey"; plot("2");[/asvg]
Quando $x$ è grande, il grafico assomiglia sempre più a quello della funzione di valore costante $2$ (in grigio chiaro). Indoviniamo allora che il risultato atteso è $10$.

Detto questo, cerchiamo di dimostrare questa intuizione. In effetti ci dà fastidio quel coseno, perciò riscriviamo

$int_x^{x+5} (2t+cos(t))/(t-4) dt=int_x^{x+5} (2t)/(t-4) dt +int_x^{x+5} cos(t)/(t-4) dt$.

Il primo integrale si calcola espllcitamente e vale $10+ log((1+x)/x)$. Ora osserviamo che per $x \to 0$ il pezzo logaritmico tende a $0$. Siccome sappiamo già il risultato, capiamo che il prossimo passo è mostrare che anche il secondo integrale tende a $0$, cosa molto più facile che calcolarlo esplicitamente. Basta infatti osservare che

$|int_{x}^{x+5} cos(t)/(t-4) dt | \le int_x^{x+5} 1/(t-4) dt = log ((1+x)/x)$

e, ancora, il membro destro è infinitesimo. Mettiamo insieme i vari pezzi:

$int_x^{x+5} (2t+cos(t))/(t-4) dt=10 + [log((1+x)/x)+ int_x^{x+5} cos(t)/(t-4) dt]$

e tutta la parte in parentesi quadra tende a $0$ quando $x\to +infty$. Concludiamo che

$lim_{x \to \infty} int_x^{x+5} (2t+cos(t))/(t-4) dt = 10$.

[gugo82]

Innanzitutto, comincia a pensare quanto possa venire il limite.

Come si comportano gli estremi d'integrazione quando [tex]$x\to \infty$[/tex]?
E la funzione integranda cosa fa intorno a [tex]$\infty$[/tex]?
Una volta che ti sei fatto un'idea, allora proviamo a ragionarci insieme.


P.S.: Una volta tanto sono stato anticipato. Buon per te.

[Controllore1]

Grazie ragazzi, siete stati grandi!!! Avevo già eliminato la parte logaritmica, mi rimaneva solo il coseno... Adesso ho capito tutto!!!

[gugo82]

"Controllore":$lim_(x -> oo) int_(x)^(x+5) (2t+cost) / (t-4) dt $

Si può fare anche con metodi più avanzati: ad esempio, usando il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Sostituiamo [tex]$\tau=t-x$[/tex]: in tal modo otteniamo:

[tex]$\int_{x}^{x+5} \frac{2t+\cos t}{t-4}\ \text{d} t \stackrel{\tau =t-x}{=} \int_0^5 \frac{2(\tau +x)+\cos (\tau +x)}{\tau +x-4}\ \text{d} \tau$[/tex]

sicché:

(*) [tex]$\lim_{x\to +\infty} \int_{x}^{x+5} \frac{2t+\cos t}{t-4}\ \text{d} t =\lim_{x\to +\infty} \int_0^5 \frac{2(t +x)+\cos (t +x)}{t +x-4}\ \text{d} t$[/tex].

Consideriamo la famiglia di funzioni:

[tex]$u(t;x) := \frac{2(t +x)+\cos (t +x)}{t +x-4}$[/tex]

rispetto al parametro [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex]: fissata [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex], la funzione [tex]$t\mapsto u(t;x)$[/tex] è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]\mathbb{R}\setminus \{ 4-x\}[/tex], quindi le funzioni che corrispondono ai valori [tex]$x\in ]-\infty ,-1[\cup ]4,+\infty[$[/tex] sono regolarissime in [tex]$[0,5]$[/tex].

Visto che vogliamo passare al limite per [tex]$x\to +\infty$[/tex], non lediamo la generalità supponendo [tex]$x>5$[/tex]; in tale ipotesi abbiamo [tex]$x-4>1$[/tex] e, per [tex]$t\in [0,5]$[/tex], [tex]$t+x-4>1$[/tex], quindi:

[tex]$|u(t;x)|\leq \frac{2t+2x+1}{t+x-4}=2+\frac{9}{t+x-4}\leq 11$[/tex];

la funzione maggiorante [tex]$\phi (t;x) :=11$[/tex] è integrabile in [tex]$[0,5]$[/tex], quindi si può applicare il teorema della convergenza dominata per passare al limite sotto il segno d'integrale al secondo membro di (*). In tal modo si ottiene:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \int_{x}^{x+5} \frac{2t+\cos t}{t-4}\ \text{d} t = \int_0^5 \left\{ \lim_{x\to +\infty} \frac{2(t +x)+\cos (t +x)}{t +x-4}\right\}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\int_0^5 2\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=10$[/tex]

come si voleva.

[dissonance]

E certo. Che poi, a voler vedere analogie, anche la costruzione del mio post precedente in ultima analisi fa la stessa cosa: il motivo per cui le cose funzionano è la stima

$|frac{cos(t)}{t-4}| le frac{1}{t-4}$

quindi, in fondo in fondo, è tutta questione di convergenza dominata. Vabbé, solo una osservazione en passant.