Limite di una funzione integrale
Salve ragazzi 
stavo cercando di risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (int_(x)^(x+x^2) e^(-t^2)dt)/x^2 $
Non potendo esprimere il numeratore in termini di funzioni elementari, ho pensato di applicare il teorema del confronto per i limiti.
Quindi cerco due funzioni, una sempre maggiore di $ e^(-x^2) $ e una sempre minore.
Ho pensato alla funzione costante uguale a 1, come funzione che è sempre maggiore di $ e^(-x^2) $ e calcolando il
$ lim_(x -> 0) (int_(x)^(x+x^2) 1 dt)/x^2 $ questo vale 1.
Ho problemi a determinare una funzione che sia sempre minore di $ e^(-x^2) $
ho pensato a $ e^(-x) $ che è minore di $ e^(-x^2) $ in un intorno destro di 0 e $ e^(x) $ che è minore di $ e^(-x^2) $ in un intorno sinistro di 0.
Quindi la funzione $h(x)$:
\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{se} x> 0 \\ e^{x}, & \mbox{se } x \le 0
\end{cases}
Potrebbe fare al caso mio, anche perche il limite $(int_(x)^(x+x^2) h(t) dt)/x^2$ tende a 1 per $ x -> 0 $
è errato come ragionamento? c'è qualche altra cosa che mi sfugge e che avrei potuto utilizzare?
Ringrazio anticipatamente
stavo cercando di risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (int_(x)^(x+x^2) e^(-t^2)dt)/x^2 $
Non potendo esprimere il numeratore in termini di funzioni elementari, ho pensato di applicare il teorema del confronto per i limiti.
Quindi cerco due funzioni, una sempre maggiore di $ e^(-x^2) $ e una sempre minore.
Ho pensato alla funzione costante uguale a 1, come funzione che è sempre maggiore di $ e^(-x^2) $ e calcolando il
$ lim_(x -> 0) (int_(x)^(x+x^2) 1 dt)/x^2 $ questo vale 1.
Ho problemi a determinare una funzione che sia sempre minore di $ e^(-x^2) $
ho pensato a $ e^(-x) $ che è minore di $ e^(-x^2) $ in un intorno destro di 0 e $ e^(x) $ che è minore di $ e^(-x^2) $ in un intorno sinistro di 0.
Quindi la funzione $h(x)$:
\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{se} x> 0 \\ e^{x}, & \mbox{se } x \le 0
\end{cases}
Potrebbe fare al caso mio, anche perche il limite $(int_(x)^(x+x^2) h(t) dt)/x^2$ tende a 1 per $ x -> 0 $
è errato come ragionamento? c'è qualche altra cosa che mi sfugge e che avrei potuto utilizzare?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Si può applicare il teorema di de l'Hôpital:
$lim_(x->0)(int_(x)^(x+x^2)e^(-t^2)dt)/x^2=0/0$
ricordando che:
$(d)/(dx)int_(\phi_1(x))^(\phi_2(x))f(t)dt=f(\phi_2)(d\phi_2)/(dx)-f(\phi_1)(d\phi_1)/(dx)$
$lim_(x->0)(int_(x)^(x+x^2)e^(-t^2)dt)/x^2=0/0$
ricordando che:
$(d)/(dx)int_(\phi_1(x))^(\phi_2(x))f(t)dt=f(\phi_2)(d\phi_2)/(dx)-f(\phi_1)(d\phi_1)/(dx)$
Ciao @anonymous_0b37e9 Anzitutto ti ringrazio per il tempo dedicatomi 
Si avevo pensato a l'Hopital, e applicandolo avevo ottenuto che il limite fosse uguale a 1 (Da qui il motivo per cui poi ho scelto le due funzioni a cui applicare il teorema del confronto convergenti a 1)
Tuttavia volevo provare a risolverlo senza l'ausilio de l'Hopital
Quindi mi chiedevo se il ragionamento da me postato nel topic iniziale, fosse corretto o meno era più per mettermi alla prova che non per una necessità pratica ^_^
Anzitutto ti ringrazio per il tempo dedicatomi Si avevo pensato a l'Hopital, e applicandolo avevo ottenuto che il limite fosse uguale a 1 (Da qui il motivo per cui poi ho scelto le due funzioni a cui applicare il teorema del confronto convergenti a 1)
Tuttavia volevo provare a risolverlo senza l'ausilio de l'Hopital
Quindi mi chiedevo se il ragionamento da me postato nel topic iniziale, fosse corretto o meno
era più per mettermi alla prova che non per una necessità pratica ^_^
Certamente. A rigore, distinguendo meglio i 2 casi:
1. $[x rarr 0^+]$
$EE [0 lt \delta lt 1] : [0 lt x lt= t lt= x+x^2 lt \delta] ^^ [e^(-t) lt= e^(-t^2) lt= 1]$
2. $[x rarr 0^-]$
$EE [0 lt \delta lt 1] : [-\delta lt= x lt t lt= x+x^2 lt 0] ^^ [e^t lt= e^(-t^2) lt= 1]$
Probabilmente al numeratore hai dimenticato di integrare.
1. $[x rarr 0^+]$
$EE [0 lt \delta lt 1] : [0 lt x lt= t lt= x+x^2 lt \delta] ^^ [e^(-t) lt= e^(-t^2) lt= 1]$
2. $[x rarr 0^-]$
$EE [0 lt \delta lt 1] : [-\delta lt= x lt t lt= x+x^2 lt 0] ^^ [e^t lt= e^(-t^2) lt= 1]$
"M.C.D.":
Quindi la funzione $h(x)$ potrebbe fare al caso mio, anche perché $[lim_(x->0)(h(x))/x^2=1]$.
Probabilmente al numeratore hai dimenticato di integrare.
Sisi ho dimenticato il simbolo di integrale al numeratore pardon, purtroppo a volte scrivo un po di fretta
Ho un dubbio, sciocco ma tant'è ormai siam qui, se riesco a trovare due funzioni tali che $g(x) <= f(x) <= h(x)$ ma solo in un intorno destro di $x_0$ e tali che $lim_(x -> x_0 +) g(x) = lim_(x -> x_0 +) h(x) = l$
posso applicare il teorema del confronto ugualmente, pervenendo alla tesi per cui il $lim_(x -> x_0 +) f(x) = l $ ?
pardon, purtroppo a volte scrivo un po di fretta Ho un dubbio, sciocco ma tant'è ormai siam qui, se riesco a trovare due funzioni tali che $g(x) <= f(x) <= h(x)$ ma solo in un intorno destro di $x_0$ e tali che $lim_(x -> x_0 +) g(x) = lim_(x -> x_0 +) h(x) = l$
posso applicare il teorema del confronto ugualmente, pervenendo alla tesi per cui il $lim_(x -> x_0 +) f(x) = l $ ?
Certamente.
Se:
1. $EE \delta in RR^+ : [x_0 lt x lt x_0+\delta] rarr [g(x) lt= f(x) lt= h(x)]$
2. $lim_(x->x_0^+)g(x)=lim_(x->x_0^+)h(x)=l$
Allora:
$lim_(x->x_0^+)f(x)=l$
Perfetto Qualsiasi altro dubbio ormai è fugato
Ti ringrazio nuovamente @anonymous_0b37e9 per la disponibilità e la chiarezza nelle risposte
Qualsiasi altro dubbio ormai è fugato Ti ringrazio nuovamente @anonymous_0b37e9 per la disponibilità e la chiarezza nelle risposte
Buon proseguimento. 
L'idea di maggiorare e minorare, però, era gagliarda e mi dispiace sia stata accantonata.
Supponiamo che \(x>0\). Allora sull'intevallo \([x, x+x^2]\) la funzione \(t\mapsto e^{-t^2}\) è decrescente e quindi
\[
\exp(-(x+x^2)^2)\le \exp(-t^2)\le \exp(-x^2),\qquad t\in [x, x+x^2].\]
Integrando e dividendo per \(x^2\) (che, guarda caso, è proprio la lunghezza dell'intervallo di integrazione)
\[
\exp(-(x+x^2)^2)\le \tfrac{1}{x^2}\int_x^{x+x^2}\exp(-t^2)\, dt\le \exp(-x^2).
\]
Per \(x\to 0^+\) si ottiene la relazione di limite cercata. Non c'è bisogno di considerare \(x\to 0^-\) perché \(x\mapsto \tfrac{1}{x^2}\int_x^{x+x^2}\exp(-t^2)\, dt\) è pari.
Supponiamo che \(x>0\). Allora sull'intevallo \([x, x+x^2]\) la funzione \(t\mapsto e^{-t^2}\) è decrescente e quindi
\[
\exp(-(x+x^2)^2)\le \exp(-t^2)\le \exp(-x^2),\qquad t\in [x, x+x^2].\]
Integrando e dividendo per \(x^2\) (che, guarda caso, è proprio la lunghezza dell'intervallo di integrazione)
\[
\exp(-(x+x^2)^2)\le \tfrac{1}{x^2}\int_x^{x+x^2}\exp(-t^2)\, dt\le \exp(-x^2).
\]
Per \(x\to 0^+\) si ottiene la relazione di limite cercata. Non c'è bisogno di considerare \(x\to 0^-\) perché \(x\mapsto \tfrac{1}{x^2}\int_x^{x+x^2}\exp(-t^2)\, dt\) è pari.
"M.C.D.":
Salve ragazzi
stavo cercando di risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (int_(x)^(x+x^2) e^(-t^2)dt)/x^2 $
Per Teorema della Media, per ogni fissato $x in RR$, esiste un punto $xi in [x,x+x^2]$ tale che:
\[
\int_x^{x+x^2} e^{-t^2}\ \text{d} t = e^{-\xi^2}\ x^2\; ;
\]
il risultato del limite segue immediatamente dal fatto che l'integrando è continuo in $0$ e che $xi ->0$ quando $x->0$.
@ dissonance
@ gugo82
Senz'altro meglio di quanto ha fatto il sottoscritto.
@ gugo82
Senz'altro meglio di quanto ha fatto il sottoscritto.
scusate ragazzi, mi è venuta una grossa curiosità su questo esercizio.
Allora, se io il limite dell'integrale lo riscrivo così :
$/int_(0)^(x-x^2)e^(-t^2) dx$ + $int_(x)^(o)e^(-t^2) dx$ e poi applico De L'Hopital, il risultato del limite mi viene comunque 1, ma solo se derivo 2 volte il denominatore. Ma si può derivare 1 volta il num e 2 volte il den?
Perchè per applicare De L'Hopital su questo integrale, con il limite che tende a 0 il den deve per forza essere derivato 2 volte, giusto?
Allora, se io il limite dell'integrale lo riscrivo così :
$/int_(0)^(x-x^2)e^(-t^2) dx$ + $int_(x)^(o)e^(-t^2) dx$ e poi applico De L'Hopital, il risultato del limite mi viene comunque 1, ma solo se derivo 2 volte il denominatore. Ma si può derivare 1 volta il num e 2 volte il den?
Perchè per applicare De L'Hopital su questo integrale, con il limite che tende a 0 il den deve per forza essere derivato 2 volte, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo