Limite di una funzione integrale
Buonasera a tutti,
scusate ma questo limite mi sembra impossibile da risolvere:
$lim(x->0^(+)) int_(0)^(1/x) (e^(t^2))/(2t^4+e^t)$
Andando a sostituire lo 0 nell'estremo ottengo +inf. Quindi devo risolvere un integrale improprio.Giusto?
Grazie in anticipo.
scusate ma questo limite mi sembra impossibile da risolvere:
$lim(x->0^(+)) int_(0)^(1/x) (e^(t^2))/(2t^4+e^t)$
Andando a sostituire lo 0 nell'estremo ottengo +inf. Quindi devo risolvere un integrale improprio.Giusto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Limite di una funzione composta... 
Scusami ma vorrei chiederti prima questo per chiarirmi le idee:quando mi trovo davanti un limite di una funzione integrale come questo:$lim(x->1)int_(1)^(x) (logt)/(t^2+1) dt$ per risolverlo cosa devo fare?Devo fare prima l'integrale?Perchè se andassi a fare subito il limite allora andrei a sostituire e otterrei $int_(1)^(1) (logt)/(t^2+1) dt = 0$.Riguardo la risposta precedente,in cui mi hai detto che devo risolvere il limite di una funzione composta,ho provato ad usare il metodo della sostituzione e quindi ho sostituito $t^2=y$.Dimmi solo se il ragionamento è corretto.Grazie e scusami il disturbo.
Nel caso che hai postato, avresti avuto ragione a concludere che il limite è nullo.
Infatti, la funzione integrale:
\[
F(x):= \int_1^x \frac{\log t}{t^2+1}\ \text{d} t
\]
è definita, continua e derivabile in \(]0,\infty[\) (per il TFCI); dunque:
\[
\lim_{x\to 1} F(x)=F(1)=0\; .
\]
[N.B.: en passant noto che puoi prolungare la \(F\) su \(0\) da destra, conservando la continuità.]
Tutta la sostituzione che fai con \(t^2\) è proprio inutile, perché, come ben sai, in un integrale definito la variabile di integrazione conta come il due di briscola...
Infine, il suggerimento che ti ho dato circa l'altro limite è legato alla seguente osservazione.
La funzione:
\[
\Phi (x) := \int_0^{1/x} \frac{e^{t^2}}{2t^4+e^t}\ \text{d} t
\]
è ottenuta componendo le due funzioni:
\[
F(y):= \int_0^y \frac{e^{t^2}}{2t^4+e^t}\ \text{d} t \qquad \text{e}\qquad y(x):=\frac{1}{x}\; ,
\]
poiché infatti risulta \(\Phi (x)=F(y(x))\).
Quindi per calcolare \(\lim_{x\to 0^+} \Phi (x)\) puoi pensare di usare il teorema sul limite delle funzioni composte... Per fare ciò, ovviamente, ti serve sapere se \(F(y)\) e \(y(x)\) soddisfano le ipotesi del teorema.
Infatti, la funzione integrale:
\[
F(x):= \int_1^x \frac{\log t}{t^2+1}\ \text{d} t
\]
è definita, continua e derivabile in \(]0,\infty[\) (per il TFCI); dunque:
\[
\lim_{x\to 1} F(x)=F(1)=0\; .
\]
[N.B.: en passant noto che puoi prolungare la \(F\) su \(0\) da destra, conservando la continuità.]
Tutta la sostituzione che fai con \(t^2\) è proprio inutile, perché, come ben sai, in un integrale definito la variabile di integrazione conta come il due di briscola...
Infine, il suggerimento che ti ho dato circa l'altro limite è legato alla seguente osservazione.
La funzione:
\[
\Phi (x) := \int_0^{1/x} \frac{e^{t^2}}{2t^4+e^t}\ \text{d} t
\]
è ottenuta componendo le due funzioni:
\[
F(y):= \int_0^y \frac{e^{t^2}}{2t^4+e^t}\ \text{d} t \qquad \text{e}\qquad y(x):=\frac{1}{x}\; ,
\]
poiché infatti risulta \(\Phi (x)=F(y(x))\).
Quindi per calcolare \(\lim_{x\to 0^+} \Phi (x)\) puoi pensare di usare il teorema sul limite delle funzioni composte... Per fare ciò, ovviamente, ti serve sapere se \(F(y)\) e \(y(x)\) soddisfano le ipotesi del teorema.
Le ipotesi sono:
y0 di accumulazione
$lim(y->y0)F(y)=l$
$lim(x->l)g(y)=k$
Allora:
$lim(x->x0)f(g(y)=k$
$lim(y->0)int_(0)^(y) (e^t^2)/(2t^4+e^t) dt=0$
$lim(x->0) 1/x=+oo$
y0 di accumulazione
$lim(y->y0)F(y)=l$
$lim(x->l)g(y)=k$
Allora:
$lim(x->x0)f(g(y)=k$
$lim(y->0)int_(0)^(y) (e^t^2)/(2t^4+e^t) dt=0$
$lim(x->0) 1/x=+oo$
"Freezix":
Le ipotesi sono:
y0 di accumulazione
$lim(y->y0)F(y)=l$
$lim(x->l)g(y)=k$
Allora:
$lim(x->x0)f(g(y)=k$
C'è anche un'altra ipotesi, che però può essere omessa quando \(l=\pm \infty\). Quale?
Se $l=+-oo$ data una funzione g appartenente all'intorno di l e continua allora il di$lim (y->l g(y))$ esisterà infinito o finito.
L'ipotesi è che la componente interna sia definitivamente diversa dal valore del suo limite intorno al p.d.a... Altrimenti il teorema va in vacca.
Ad ogni modo, hai \(y(x)\to +\infty\) quando \(x\to 0^+\) ed \(F(y)\to +\infty\) per \(y\to +\infty\) (perché l'integrando in \(F\) è positivo e non è sommabile); quindi il teorema del limite della funzione composta ti restituisce:
\[
\lim_{x\to 0^+} \Phi (x) \stackrel{y=1/x}{=} \lim_{y\to +\infty} F(y) = +\infty \; .
\]
Ad ogni modo, hai \(y(x)\to +\infty\) quando \(x\to 0^+\) ed \(F(y)\to +\infty\) per \(y\to +\infty\) (perché l'integrando in \(F\) è positivo e non è sommabile); quindi il teorema del limite della funzione composta ti restituisce:
\[
\lim_{x\to 0^+} \Phi (x) \stackrel{y=1/x}{=} \lim_{y\to +\infty} F(y) = +\infty \; .
\]
Grazie
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