Limite di una funzione in due variabili!
la funzione presa in considerazione è $ f(x)=(x^4 + y^4)/(x^3 + y^5) $
Ho trasformato il limite per x e y che tende a (0,0) in limite per "ro" che tende a 0 trasformando la x in $rho cos T $ e y in $rho sinT$..
Alla fine mi è venuto $0/(cos^3Te)$ ..
è giusto?? posso dire quindi che il limite non esiste dato che dipende dall'ampiezza dell'angolo $T$??
Grazie mille!!
Ho trasformato il limite per x e y che tende a (0,0) in limite per "ro" che tende a 0 trasformando la x in $rho cos T $ e y in $rho sinT$..
Alla fine mi è venuto $0/(cos^3Te)$ ..
è giusto?? posso dire quindi che il limite non esiste dato che dipende dall'ampiezza dell'angolo $T$??
Grazie mille!!
Risposte
"lelinolino":
la funzione presa in considerazione è $ f(x)=(x^4 + y^4)/(x^3 + y^5) $
Ho trasformato il limite per x e y che tende a (0,0) in limite per $rho$ che tende a 0 trasformando la x in $rho cos T $ e y in $rho sinT$..
Alla fine mi è venuto $0/(cos^3Te)$ ..
è giusto?? posso dire quindi che il limite non esiste dato che dipende dall'ampiezza dell'angolo $T$??
Sinceramente ci ho capito poco... Se viene zero il numeratore vuol dire che hai a che fare con la funzione identicamente nulla; e la funzione nulla ha limite. Quindi c'è qualcosa che non va, no?
Ad ogni modo, non c'è bisogno di passare in coordinate polari.
Più semplicemente, se consideri le restrizioni della funzione ai semiassi positivi (ossia agli insiemi $\{ x>0,\ y=0\}$ e $\{ x=0,\ y>0\}$), i limiti in $(0,0)$ di tali restrizioni esistono e sono diversi (rispettivamente sono $0$ e $+oo$); quindi la funzione assegnata non può aver limite in $(0,0)$.
ok grazie mille...
Comunque la soluzione che ho detto io è sbagliata oppure è valida pur essendo più contorta nei calcoli?
Comunque la soluzione che ho detto io è sbagliata oppure è valida pur essendo più contorta nei calcoli?
Ho aggiornato il post precedente.
C'è qualcosa che non va nella tua soluzione, ad ogni buon conto... Prova a rivedere i calcoli o a scrivere meglio le formule (può darsi che ti sia perso qualche pezzo per la strada usando MathML).
C'è qualcosa che non va nella tua soluzione, ad ogni buon conto... Prova a rivedere i calcoli o a scrivere meglio le formule (può darsi che ti sia perso qualche pezzo per la strada usando MathML).
allora scrivo tutti i passaggi che ho fatto!
$(x^4 + y^4)/(x^3 + y^5)$ $=$ $(ro^4 Cos^4 (T) + r0^4 Sen^4 (T))/(ro^3 Cos^3 (T) + ro^5 Sen^5 (T)$ $=$ $(ro^4 (Cos^4 (T) + Sen^4 (T)))/(ro^3 (Cos^3 (T)+ro^2 (Sen^5 (T)))$ $=$ $(ro (Cos^4 (T) + Sen^4 (T)))/(1 (Cos^3 (T)+ro^2 (Sen^5 (T)))$
è giusto fino a qui?
$(x^4 + y^4)/(x^3 + y^5)$ $=$ $(ro^4 Cos^4 (T) + r0^4 Sen^4 (T))/(ro^3 Cos^3 (T) + ro^5 Sen^5 (T)$ $=$ $(ro^4 (Cos^4 (T) + Sen^4 (T)))/(ro^3 (Cos^3 (T)+ro^2 (Sen^5 (T)))$ $=$ $(ro (Cos^4 (T) + Sen^4 (T)))/(1 (Cos^3 (T)+ro^2 (Sen^5 (T)))$
è giusto fino a qui?
Please \$rho\$ = $rho$, \$cos\$ = $cos$ e \$sin\$ = $sin$. 
Ad ogni modo, sisi sembra corretto. Ora è da vedere come concludi... E non vale mettere $rho=0$ al numeratore!
Ad ogni modo, sisi sembra corretto. Ora è da vedere come concludi... E non vale mettere $rho=0$ al numeratore!
sorry per il linguaggio 
Ad ogni modo potrei concludere che $rho$^2 tende a $ 0 $ più rapidamente di $rho$ quindi la funzione diventa $(rho(cos^4 (T) + sin^4(T)))/(cos^3 (T))$ e a questo punto senza fare il limite di $rho -> 0$ posso dire che, dato che il $cos^3 (T)$ al denominatore non è semplificabile la funzione non ammette limite perchè dipende dall'ampiezza dell'angolo $(T)$..
Giusto??
Ad ogni modo potrei concludere che $rho$^2 tende a $ 0 $ più rapidamente di $rho$ quindi la funzione diventa $(rho(cos^4 (T) + sin^4(T)))/(cos^3 (T))$ e a questo punto senza fare il limite di $rho -> 0$ posso dire che, dato che il $cos^3 (T)$ al denominatore non è semplificabile la funzione non ammette limite perchè dipende dall'ampiezza dell'angolo $(T)$..
Giusto??
Non va bene.
In particolare non è chiaro perchè trascuri quel $rho^2$ a denominatore. Che c'entra che è un infinitesimo d'ordine maggiore di $rho$?
Dal rapporto $(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)$ c'è un'unica conclusione che puoi trarre.
Per $t!= pm pi/2$ si ha:
$lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=0$;
invece se $t=pi/2$ [risp. $t=-pi/2$] si ha:
$(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=rho/(rho^2)=1/rho$ [risp. $(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=-1/rho$]
quindi:
$lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t) =+oo$ [risp. $lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t) =-oo$].
Ne viene che il limite non esiste.
In particolare non è chiaro perchè trascuri quel $rho^2$ a denominatore. Che c'entra che è un infinitesimo d'ordine maggiore di $rho$?
Dal rapporto $(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)$ c'è un'unica conclusione che puoi trarre.
Per $t!= pm pi/2$ si ha:
$lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=0$;
invece se $t=pi/2$ [risp. $t=-pi/2$] si ha:
$(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=rho/(rho^2)=1/rho$ [risp. $(rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t)=-1/rho$]
quindi:
$lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t) =+oo$ [risp. $lim_(rho to 0^+) (rho(cos^4 t +sin^4 t))/(cos^3 t+ rho^2 sin^5t) =-oo$].
Ne viene che il limite non esiste.
ho capito..
ti ringrazio moltissimo.. sei stato più che esauriente!!
Grazie ancora,
Lelinolino!!
ti ringrazio moltissimo.. sei stato più che esauriente!!
Grazie ancora,
Lelinolino!!
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