Limite di una funzione -> 0
Ciao a tutti, ho un dubbio su un limite...
$ lim x->0 ((5-2lnx)/(lnx-3)^2) $
Io avrei proseguito sviluppando il quadrato al denominatore e poi tenendo in considerazione i termini di grado minimo.
Avrei quindi fatto:
$ (2lnx)/(-6lnx) = -2/6 $
Invece ad esercitazione l'insegnante ha scritto
$ =(-2lnx)/ln^2x = (-2)/lnx = 0+ $
Ovvero lo stesso procedimento fatto per il limite precedente con x-> + infinito..
Mi sembra strano, è giusto il mio procedimento o quello svolto dall'esercitatore? (magari nessuno dei due
)
$ lim x->0 ((5-2lnx)/(lnx-3)^2) $
Io avrei proseguito sviluppando il quadrato al denominatore e poi tenendo in considerazione i termini di grado minimo.
Avrei quindi fatto:
$ (2lnx)/(-6lnx) = -2/6 $
Invece ad esercitazione l'insegnante ha scritto
$ =(-2lnx)/ln^2x = (-2)/lnx = 0+ $
Ovvero lo stesso procedimento fatto per il limite precedente con x-> + infinito..
Mi sembra strano, è giusto il mio procedimento o quello svolto dall'esercitatore? (magari nessuno dei due
)
Risposte
Ad una prima occhiata questo procedimento:
$-2lnx/(ln^2x) = -2/lnx = 0+ $
E' corretto: infatti con $ x-> 0$ il $lnx -> - oo$. Questo è ciò che hai sbagliato nel tuo procedimento : in questo caso $lnx $ non tende a zero, ma a $-oo$. Ciò fa si che il limite tenda a $0^+$, perchè il meno del 2 annula il meno dell'infinito.
Quello che ti posso consigliare è di provare a sostituire $lnx = y$.
Così vedi subito che si tratta di un polinomio:
$lim_(x->0)((5-2y)/(y^2 - 6y + 9)) $
Il cambio di variabile comporta che: $x=e^y$, quindi se $x->0$ , $e^y->0$, ergo $y->-oo$.
Ecco che a questo punto è possibile effettuare il procedimento , poichè la variabile tende a $oo$:
$lim_(x->0)((-2y)/(y^2)) = lim_(x->0) (-2 / y) = 0^+ $
$-2lnx/(ln^2x) = -2/lnx = 0+ $
E' corretto: infatti con $ x-> 0$ il $lnx -> - oo$. Questo è ciò che hai sbagliato nel tuo procedimento : in questo caso $lnx $ non tende a zero, ma a $-oo$. Ciò fa si che il limite tenda a $0^+$, perchè il meno del 2 annula il meno dell'infinito.
Quello che ti posso consigliare è di provare a sostituire $lnx = y$.
Così vedi subito che si tratta di un polinomio:
$lim_(x->0)((5-2y)/(y^2 - 6y + 9)) $
Il cambio di variabile comporta che: $x=e^y$, quindi se $x->0$ , $e^y->0$, ergo $y->-oo$.
Ecco che a questo punto è possibile effettuare il procedimento , poichè la variabile tende a $oo$:
$lim_(x->0)((-2y)/(y^2)) = lim_(x->0) (-2 / y) = 0^+ $
Ok, mi sembra di aver capito...ma quindi questo limite è sempre uguale sia per $ x->∞ $ sia per $ x->0 $ allora?
Per $x$ che tende ad $\infty$ tende ancora a 0, però $0^-$
ah ecco si perfetto.
Però non ho capito ancora come mai la mia soluzione è sbagliata...
Però non ho capito ancora come mai la mia soluzione è sbagliata...
Auron te l'ha spiegato sostituendo la variabile $x$ con la $y$.
Comunque:
per $x$ che tende a $0$ hai che $ln(x)$ tende a $\infty$ e quindi devi considerare i termini di grado massimo e non quelli di grado minimo
Comunque:
per $x$ che tende a $0$ hai che $ln(x)$ tende a $\infty$ e quindi devi considerare i termini di grado massimo e non quelli di grado minimo
La spiegazione di prima l'ho capita, per risolverlo. Non avevo capito bene solo perchè non potevo procedere come avevo pensato io, ora si 
Grazie mille a tutti e due.
Grazie mille a tutti e due.
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