Limite di una funzione con forma indeterminata 0/0
Salve a tutti. Mi piacerebbe sapere alcune cose riguardo il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4}cos(\frac{1}{x}) \right )} \)
1) Come si può fare a risolverlo senza usare ne de L'Hopital ne gli sviluppi di Taylor ma usando solo limiti notevoli e asintotici.
2) Ho provato a fare un grafico della funzione con wolframaplha e sembra che in x=0 è un valore compreso tra 1 e 2. Tuttavia ho provato a inserire il limite sempre con wolframalpha ma non lo sa risolvere. Sapete spiegarmi il perchè e che genere di limiti non è in grado di risolvere wolframalpha?
Gli unici passaggi che ho provato a fare sono:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}\left (1-\left (\frac{2}{3} \right )^{x} \right )}{ln\left ( 2^{x}\left (1+\frac{x^{4}}{2^{x}}cos(\frac{1}{x}) \right ) \right )} \) = \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}\left (1-\left (\frac{2}{3} \right )^{x} \right )}{xln\left ( 2 \right ) +ln\left ( 1+\frac{x^{4}}{2^{x}}cos\left ( \frac{1}{x} \right ) \right ) } \)
Però anche con questi passaggi non so che limite notevole usare e nemmeno come continuare.
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4}cos(\frac{1}{x}) \right )} \)
1) Come si può fare a risolverlo senza usare ne de L'Hopital ne gli sviluppi di Taylor ma usando solo limiti notevoli e asintotici.
2) Ho provato a fare un grafico della funzione con wolframaplha e sembra che in x=0 è un valore compreso tra 1 e 2. Tuttavia ho provato a inserire il limite sempre con wolframalpha ma non lo sa risolvere. Sapete spiegarmi il perchè e che genere di limiti non è in grado di risolvere wolframalpha?
Gli unici passaggi che ho provato a fare sono:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}\left (1-\left (\frac{2}{3} \right )^{x} \right )}{ln\left ( 2^{x}\left (1+\frac{x^{4}}{2^{x}}cos(\frac{1}{x}) \right ) \right )} \) = \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}\left (1-\left (\frac{2}{3} \right )^{x} \right )}{xln\left ( 2 \right ) +ln\left ( 1+\frac{x^{4}}{2^{x}}cos\left ( \frac{1}{x} \right ) \right ) } \)
Però anche con questi passaggi non so che limite notevole usare e nemmeno come continuare.
Risposte
Il passaggio che hai fatto, non serve, in quanto non si tratta di ordini di infinito , ma bensi di infinitesimo, $x->0$
, inoltre quando si ha una differenza , come nel caso a numeratore, l'unico modo è quello di ricorrere a Hopital , o meglio allo sviluppo in serie di taylor, nel nostro caso abbiamo con taylor: $3^x=1+xlog3+o(x^2)$ ed $2^x=1+xlog2+o(x^2)$, se il limite fosse stato $lim_(x->0)(3^x-2^x)/x$ calcolando si avrebbe $(1+xlog3-1-xlog2)/x=(xlog3-xlog2)/x=log3-log2$, poi nel limite da te posto compare a denominatore $cos(1/x)$, per $x->0$, il cui limite non esiste , quindi credo sia questo il motivo per cui wolfram non te lo risolva, in generale poi credo che se il limite è ben posto , wolfram è in grado di darti la soluzione!
Naturalmente prendi le considerazioni che ho fatto con beneficio di inventario, magari qualcuno più esperto in questo forum può smentire ciò che ho affermato e darti delle indicazioni più precise!
Saluti!
, inoltre quando si ha una differenza , come nel caso a numeratore, l'unico modo è quello di ricorrere a Hopital , o meglio allo sviluppo in serie di taylor, nel nostro caso abbiamo con taylor: $3^x=1+xlog3+o(x^2)$ ed $2^x=1+xlog2+o(x^2)$, se il limite fosse stato $lim_(x->0)(3^x-2^x)/x$ calcolando si avrebbe $(1+xlog3-1-xlog2)/x=(xlog3-xlog2)/x=log3-log2$, poi nel limite da te posto compare a denominatore $cos(1/x)$, per $x->0$, il cui limite non esiste , quindi credo sia questo il motivo per cui wolfram non te lo risolva, in generale poi credo che se il limite è ben posto , wolfram è in grado di darti la soluzione!
Naturalmente prendi le considerazioni che ho fatto con beneficio di inventario, magari qualcuno più esperto in questo forum può smentire ciò che ho affermato e darti delle indicazioni più precise!
Saluti!
Grazie mille ora sono riuscito a risolverlo e alla fine facendo un po di semplificazioni mi risulta:
\(\displaystyle \frac{ln\left (3 \right )}{ln\left (2 \right )}-1\simeq 0,585.. \)
Per sicurezza, siccome non posso avere la conferma con wolfram, con la calcolatrice ho inserito nella funzione al posto della x un numero molto piccolo (0,000001) e risultava un numero molto simile.
Per quanto riguarda la risposta su wolfram è possibile che sia quello il problema.
\(\displaystyle \frac{ln\left (3 \right )}{ln\left (2 \right )}-1\simeq 0,585.. \)
Per sicurezza, siccome non posso avere la conferma con wolfram, con la calcolatrice ho inserito nella funzione al posto della x un numero molto piccolo (0,000001) e risultava un numero molto simile.
Per quanto riguarda la risposta su wolfram è possibile che sia quello il problema.
Naturalmente bisogna omettere il termine $cos(1/x)$ che fa perdere senso al limite, a questo punto il limite diventa $lim_(x.>0)(3^x-2^x)/(log2^x)$ $=lim_(x->0)(3^x-2^x)/(xlog2)$, calcolando a questo punto si ha: $(xlog3-xlog2)/(xlog2)=(log3-log2)/log2=((log3)/(log2))-((log2)/(log2))=(log3/log2)-1$, e con wolfram naturalmente avrai la conferma del risultato; penso che tu abbia fatto cosi.
Scusa, ma da quale testo hai tratto quel limite?
Scusa, ma da quale testo hai tratto quel limite?
In realtà non l'ho preso da nessun testo ma me lo sono fatto dare da un mio amico
ciao, il termine $ x^4*cos(1/x) $ tende sempre a $0$ per $ x->0 $ perchè $cos(1/x)$ è indefinito $?$ ma non infinito $oo$, quindi nel calcolo del limite lo devi considerare "come un numero finito": $0*?=0$ 
In effetti con esercizi di questo tipo su Wolfram dovresti usare il teorema dei due carabinieri: siccome il coseno è compreso tra -1 e 1 basta osservare che la tua funzione è compresa tra
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4} \right )} \)<\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4}cos(\frac{1}{x}) \right )} \)<\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}-x^{4} \right )} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4} \right )} \)<\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}+x^{4}cos(\frac{1}{x}) \right )} \)<\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{ln\left ( 2^{x}-x^{4} \right )} \)
anzichè http://www.wolframalpha.com/ dovresti usare software basati su Giac/Xcas che usa algoritmi davvero molto efficienti, come Geogebra, la calcolatrice HP Prime e Xcas stesso. Provando a risolvere il tuo limite tutti e tre ottengono il risultato corretto:
Geogebra
http://www.geogebra.org/
HP Prime Virtual Calculator
ftp://ftp.hp.com/pub/calculators/Prime/
Giac/Xcas
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html
Geogebra
http://www.geogebra.org/
HP Prime Virtual Calculator
ftp://ftp.hp.com/pub/calculators/Prime/
Giac/Xcas
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html
Io userei il limite notevole : $lim_{x->0}{a^x-1}/{x}=loga$ ed il fatto che, per $x->0$, $x^4cos{1/x}$ è trascurabile rispetto a $2^x$.
Pertanto si ha:
L=$lim_{x->0}[ {(3/2)^x-1}/{x}\cdot {x2^x}/{log(2^x)}]=lim_{x->0}[{(3/2)^x-1}/{x} \cdot {x2^x}/{xlog2}]=log({3}/{2})/ {log2}$
C.V.D.
Pertanto si ha:
L=$lim_{x->0}[ {(3/2)^x-1}/{x}\cdot {x2^x}/{log(2^x)}]=lim_{x->0}[{(3/2)^x-1}/{x} \cdot {x2^x}/{xlog2}]=log({3}/{2})/ {log2}$
C.V.D.
x@ciromario. Si perfetto,si può benissimo utilizzare il limite notevole da te indicato, infatti si può scrivere $(3/2)^x=(e^(log(3/2)))^x)$ $=((e^x)^(log(3/2)))$ e da qui $lim_(x->0)(e^(x(log(3/2))-1)/x$ $=lim_(x->0)((1+x)^(log(3/2))-1)/x=((1+xlog(3/2)+....) -1)/x=xlog(3/2)/x=log(3/2)$
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