Limite di una funzione complessa di variabile complessa

[Sirio1988]

Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto per la dimostrazione del seguente teorema sui limiti di funzioni complesse di variabile complessa.

Sia $f:A rarr CC$, $A sube CC$ e $z_0 in CC$ un suo punto di accumulazione. Se $lim_(z rarr z_0 )f(z)=l in CC$ allora $lim_(z rarr z_0 ) Re(f(z))=Re(l)$, $lim_(z rarr z_0 ) Im(f(z))=Im(l)$.

Dalla definizione di limite si ha che
$AA epsilon > 0 EE delta > 0:z !=z_0, z in B_δ(z_0 ) nn A rArr |f(z)-l|
Sfruttando alcune proprietà dei numeri complessi
$|Re(f(z))-Re(l)|=|Re(f(z)-l)|<=|f(z)-l|$
$|Im(f(z))-Im(l)|=|Im(f(z)-l)|<=|f(z)-l|$

A questo punto il mio prof ha detto che per dimostrarlo occorre utilizzare il teorema del confronto. Mi sapreste dire in quale forma, dato che parliamo di funzioni complesse?

[Plepp]

E' una cosa che vale in generale in uno spazio metrico (quale è $CC$). Se $X$ è uno spazio metrico e $f,g:X\to RR$ sono tali che $f(x)\le g(x)$ in $X$ e ammettono entrambe limite per $x\to x_0\in "Dr"(X)$, allora le disuguaglianze si conservano tra i loro limiti (la dimostrazione è identica al caso $X=RR$)

[Sirio1988]

Vediamo se ho capito.
<------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------->
Siano $f,g,h:A->RR$, $A sube RR^2$, $(x_0,y_0) in DA$, $lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(z)=lim_((x,y)->(x_0,y_0)) h(z)=l$.
Se $f(x,y)<=g(x,y)<=h(x,y)$

allora $lim_((x,y)->(x_0,y_0)) g(z)=l$

Dimostrazione

$AA epsilon>0 EE delta>0: (x,y)in A, (x,y) in B_(delta) (x_0,y_0)text(\) {(x_0,y_0)} rArr |f(x,y)-l|< epsilon$
$AA epsilon>0 EE delta>0: (x,y)in A, (x,y) in B_(delta) (x_0,y_0)text(\) {(x_0,y_0)} rArr |h(x,y)-l|< epsilon$

$l-epsilon $l-epsilon
Quindi
$l-epsilon <------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------->
Dato che la funzione modulo di un numero complesso è una funzione da $CC$ in $RR$ dovrei usare questo teorema. Corretto?

[Plepp]

L'idea è quella, ma fissato $\epsilon>0$ i $\delta$ delle definizioni di limite scritte per $f$ e $h$ non sono necessariamente uguali. Fissato $\epsilon$, esisteranno $\delta_f,\delta_h>0$ tali che blablabla...l'ultima disuguaglianza che hai scritto vale in $B_\delta(x_0,y_0)$, ove $\delta:=\min\{\delta_f,\delta_h\}$.

[Sirio1988]

"Plepp":L'idea è quella, ma fissato $\epsilon>0$ i $\delta$ delle definizioni di limite scritte per $f$ e $h$ non sono necessariamente uguali. Fissato $\epsilon$, esisteranno $\delta_f,\delta_h>0$ tali che blablabla...l'ultima disuguaglianza che hai scritto vale in $B_\delta(x_0,y_0)$, ove $\delta:=\min\{\delta_f,\delta_h\}$.

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Hai ragione, ho fatto copia-incolla per le definizioni di limite e non ho ricontrollato XD. Comunque grazie per la risposta, ora è tutto chiaro.

[Sirio1988]

Teorema
$lim_(z->z_0) f(z)=l in CC hArr {(lim_(z->z_0) Re f(z)=Re l ),(lim_(z->z_0) Im f(z)=Im l ):}$
Dimostrazione

$|Re f(z)-Re l|=|Re(f(z)-l)|<=|f(z)-l| ->0$
$|Re f(z)-Re l|=|Re(f(z)-l)|<=|f(z)-l| ->0$

quindi $lim_(z->z_0) Re f(z)=Re l$ e $lim_(z->z_0) Im f(z)=Im l$.

Dimostriamo il viceversa. Poniamo $f(z)=Re f(z)+i Im f(z)$, $l=Re l + i Iml$. Si ha allora che:

$0<=|f(z)-l|=|Re f(z)-Re l +i(Im f(z)- Im l)|<=|Re f(z)-Re l|+|Im f(z)- Im l|$

e dato che $|Re f(z)-Re l| ->0$, $|Im f(z)- Im l| ->0$ si ha la tesi per il teorema del confronto.

Quest'ultima parte vi pare corretta?

[Plepp]

Direi di sì

[Sirio1988]

Perfetto. Grazie