Limite di una funzione
Per $x->0^+$ di
$f(x) = \frac{2^x - 3^x} {\log (2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x}))} = \frac{x \log 2 - x \log 3 }{\log (2^x(1 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}))} = (\frac{x \log 2 - x \log 3 }{x \log 2 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}})$
Aiutino? adesso mi sta venendo il dubbio, forse era meglio usare gli ordini di infinitesimo! no?
$f(x) = \frac{2^x - 3^x} {\log (2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x}))} = \frac{x \log 2 - x \log 3 }{\log (2^x(1 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}))} = (\frac{x \log 2 - x \log 3 }{x \log 2 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}})$
Aiutino? adesso mi sta venendo il dubbio, forse era meglio usare gli ordini di infinitesimo! no?
Risposte
Non mi è chiaro come sono comparsi i logaritmi al numeratore...
"davidedesantis":
Per $x->0^+$ di
$f(x) = \frac{2^x - 3^x} {\log (2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x}))} = \frac{x \log 2 - x \log 3 }{\log (2^x(1 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}))} = (\frac{x \log 2 - x \log 3 }{x \log 2 + \frac{x^2 \sin (\frac{1}{x})}{2^x}})$
Aiutino? adesso mi sta venendo il dubbio, forse era meglio usare gli ordini di infinitesimo! no?
guarda se vuoi posso darti un aiutino con il denominatore $log (2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x}))$
(errata corrige)
il seno è infinito per $x->0^+$ quindi puoi pensare che oscilli sempre tra $+1 e -1$ e moltiplicato per $x^2$ ti darebbe sempre e comunque 0, quindi il denominatore si riduce a $log(2^x)$ che si può riscrivere come $xlog(2)$ per le proprietà dei logaritmi
per il numeratore avrei pensato a $e^(xlog2)-e^(xlog3)$ però non saprei più come andare avanti xD
Io dire che non è vero che $sin(1/x) \sim 1/x$ per $x->0$ 
Quello che al massimo puoi sfruttare al denominatore è il fatto che $x^2sin(1/x)$ è il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata...
Quello che al massimo puoi sfruttare al denominatore è il fatto che $x^2sin(1/x)$ è il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata...
ah vero mi son confuso....$sin(1/x)$ è asintotica a $1/x$ per $x->oo$ ...
"Lorin":
Io dire che non è vero che $sin(1/x) \sim 1/x$ per $x->0$
Quello che al massimo puoi sfruttare al denominatore è il fatto che $x^2sin(1/x)$ è il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata...
grazie per la segnalazione ho corretto
Di nulla...proviamo a vedere se l'utente ha qualche idea...
Anche se io rimarrei al numeratore $2^x-3^X$
Anche se io rimarrei al numeratore $2^x-3^X$
Al numeratore lo sviluppo di Taylor mi sembra corretto e potrebbe portarmi a qualcosa...L'argomento del logaritmo è
$(2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x})) \sim 2^x + x^2$ Siccome $ \sin (\frac{1}{x})$ oscilla tra $-1$ e $1$ no?
Quindi si potrebbe dire che $x^2 = o(2^x)$ ? Quindi $(2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x})) \sim 2^x$ ?
Ed il limite può fare $\frac{x(\log 2 - \log 3)}{x (\log 2)} = \frac{\log 2 - \log 3}{\log 2}$ ?
Grazie
$(2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x})) \sim 2^x + x^2$ Siccome $ \sin (\frac{1}{x})$ oscilla tra $-1$ e $1$ no?
Quindi si potrebbe dire che $x^2 = o(2^x)$ ? Quindi $(2^x + x^2 \sin (\frac{1}{x})) \sim 2^x$ ?
Ed il limite può fare $\frac{x(\log 2 - \log 3)}{x (\log 2)} = \frac{\log 2 - \log 3}{\log 2}$ ?
Grazie
"Lorin":
Non mi è chiaro come sono comparsi i logaritmi al numeratore...
L'ho avevo fatto sparire con lo sviluppo di taylor del primo ordine
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