Limite di una funzione

[Francesconaso]

Ciao a tutti,
ho un problema con questo limite...

$Lim x->0^+ (sin(x)-2(1-cos(sqrt(x))))/x^3$
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi? Grazie

[feddy]

Basta usare il limite notevole del senso e quello del coseno... ti viene in mente qualcosa?

[Francesconaso]

$sin(x)/x^3 -2* (1-cos(sqrt(x)))/x^3 $
$(1/x^2)sin(x)/x-2* (1-cos(sqrt(x)))/sqrt(x)^6 $
$(1/x^2)sin(x)/x-2/sqrt(x)^4* (1-cos(sqrt(x)))/sqrt(x)^2$
...
Raccogliendo 1/x^2 arriviamo a oo*0

[feddy]

Non avevo provato a farlo: ti conviene usare gli sviluppi di Taylor- Mc Laurin. Infatti al numeratore hai che compaiono termini i cui primi ordini di sviluppo non nulli si annullano a vicenda.

[pilloeffe]

Ciao Francesconaso,

Benvenuto sul forum!

Facendo uso degli sviluppi in serie

$ sin(x) = x - x^3/6 + o(x^4) $
$ cos(sqrt{x}) = 1 - x/2 + x^2/24 - x^3/720 + o(x^4) $

trascurando gli $o$ si ha:

$ lim_{x \to 0^+} (sin(x)-2(1-cos(sqrt(x))))/x^3 = lim_{x \to 0^+} frac{x - x^3/6 - 2 + 2 - x + x^2/12 - x^3/360}{x^3} = $
$ = lim_{x \to 0^+} frac{x^2/12 - frac{61x^3}{360}}{x^3} = +\infty $