Limite di una forma indet

[Comeover]

Mi aiutate a risolvere il seguente limite?Io usando le proprietà dei logaritmi riesco a ricavami naforma piu semplice ma non riesco ad andare oltre il 3 passaggio

$lim_(x->0) ((7^x +1)/(3x^2-4x+2))^((x+1)/(7x))$
$lim_(x->0)e^ [ln((7^x +1)/(3x^2-4x+2))*((x+1)/(7x))]$
$lim_(x->0) ln((7^x +1)/(3x^2-4x+2))*((x+1)/(7x))$

[francicko]

$7^x=e^(xlog7)~1+xlog7$
sostituendo avremo $lim_(x->0)(2/(3x^2-4x+2)+(xlog7)/2)^(1/(7x )$ $=lim_(x->0)(1+(xlog7)/2)^(1/(7x))$ e da qui puoi ricondurti facilmente alla forma indeterminata $1^(infty)$
$(1+f (x))^(1/f (x))$ dove $lim_(x->0)f (x)=0$

[billyballo2123]

CIao!

\[
\lim_{x\to 0}\quad\ln\bigg(\frac{7^x+1}{3x^2-4x+2}\bigg)=\lim_{x\to 0}\quad\ln\bigg(1+\frac{7^x+1}{3x^2-4x+2}-1\bigg)
=\lim_{x\to 0}\quad\frac{7^x+1}{3x^2-4x+2}-1\\=\lim_{x\to 0}\quad\frac{7^x+1-3x^2+4x-2}{3x^2-4x+2}
=\lim_{x\to 0}\quad\frac{7^x-3x^2+4x-1}{3x^2-4x+2}.
\]
A questo punto puoi usare gli sviluppi di Taylor per $7^x$ e moltiplicare poi per $\frac{x+1}{7x}$.