Limite di una derivabile

[Simonixx]

Vorrei sapere come risolvere il seguente esercizio, capendo i procedimenti... (non sono una cima in materia >.<)

Sia $f: R -> R$ derivabile in $x_0 in R$ dove $R$ è l'insieme dei reali.
Calcolare, se esiste, il seguente limite:

$lim_(h->0) (f(x_0 + h) - f(x_0 - h))/(2h)$

Inoltre data la seguente funzione $g:R -> R$ non derivabile in 0, tale che:

$g(x) = x*sen(1/x)$ se $x != 0$
$g(x) = 0$ se $x = 0$

stabilire se esiste per $g$ il limite come prima definito (al posto di $f$ ci metto $g$) con $x_0 = 0$

Grazie per le risposte.

p.s.: io ho provato addizionando e sottraendo gli addendi $f(h)$ e $f(-h)$ per togliere via dal limite gli altri due sapendo che è derivabile in $x_0$ solo che poi non so come togliere i rimanenti addendi...

[_prime_number]

Prova ad aggiungere e togliere $f(x_0)$ a numeratore e a dividere il limite in 2. Inoltre ricorda che $\lim_{x\to x_0} cf(x)=c\lim_{x\to x_0}f(x)$ se $c$ è una costante.

Paola

[Simonixx]

Cerco di farlo, dimmi se vado bene e intanto viene

$1/2 * (lim_(h -> 0) (f(x_0 + h) - f(x_0 - h) + f(x_0) - f(x_0)) /h)$

mi concentro sul limite e riordino:
$lim_(h ->0) (f(x_0 + h) - f(x_0))/h - (f(x_0 - h) - f(x_0))/h$

spezzo il limite e la prima parte viene esattamente $l$ che è il limite del rapporto incrementale visto che $f$ è derivabile in $x_0$. Quindi per ora abbiamo:

$1/2*(l - lim_(h->0) (f(x_0 - h) - f(x_0))/h)$

Ora posso dire la seguente cosa? Ovvero: siccome che il limite del rapporto incrementale è definito per qualsiasi incremento $h$ posso dire che è definito anche per $-h$ ? Se lo fosse potrei dire che l'espressione di prima è uguale alla seguente:

$1/2*(l + lim_(-h->0) (f(x_0 + (- h)) - f(x_0))/ (-h))$ spostando il segno da davanti il limite all'interno del limite e quindi posso dire che quello è di nuovo un rapporto incrementale no? Quindi verrebbe:

$1/2 * (l + l) = 1/2 * (2l) = l$

Giusto?

Se sì, ora manca solo il secondo esercizio XD