Limite di un rapporto di funzioni logaritmiche
Ciao il limite da risolvere è il seguente:
$ lim_(x -> 0)ln (x^(1/4)+x^(1/2))/ ln(x^(1/3)+x^(1/5)) $
io ho ragionato cosi...trascuro i termini $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ perchè sono infinitesimi di ordine inferiore rispetto alle altre potenze, ed ottengo cosi $ lim_(x -> 0)ln (x^(1/2))/ ln(x^(1/3)) $ , a questo punto procedo applicando de l'Hopital ottenendo come risultato 3/2.
Mi piacerebbe sapere se il ragionamento fatto è giusto.
Grazie.
$ lim_(x -> 0)ln (x^(1/4)+x^(1/2))/ ln(x^(1/3)+x^(1/5)) $
io ho ragionato cosi...trascuro i termini $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ perchè sono infinitesimi di ordine inferiore rispetto alle altre potenze, ed ottengo cosi $ lim_(x -> 0)ln (x^(1/2))/ ln(x^(1/3)) $ , a questo punto procedo applicando de l'Hopital ottenendo come risultato 3/2.
Mi piacerebbe sapere se il ragionamento fatto è giusto.
Grazie.
Risposte
Potevi tranquillamente applicare la proprietà del logaritmo, cioè $logx^n = nlogx$ così risparmiavi di applicare Hopital, e ottenevi $3/2$
Hai ragione avrei risparmiato un pò di tempo.
Grazie.
Grazie.
"espa28":
Ciao il limite da risolvere è il seguente:
$ lim_(x -> 0)ln (x^(1/4)+x^(1/2))/ ln(x^(1/3)+x^(1/5)) $
io ho ragionato cosi...trascuro i termini $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ perchè sono infinitesimi di ordine inferiore rispetto alle altre potenze, ed ottengo cosi $ lim_(x -> 0)ln (x^(1/2))/ ln(x^(1/3)) $ , a questo punto procedo applicando de l'Hopital ottenendo come risultato 3/2.
Mi piacerebbe sapere se il ragionamento fatto è giusto.
Grazie.
Non ho capito perchè hai trascurato $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ con quale regola puoi dire che sono trascurabili?
Ho considerato $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ infinitesimi di ordine inferiore rispetto a $ x^(1/2) $ e $ x^(1/3) $...
ma adesso che hai sottolineato la cosa qualche dubbio mi viene !.
Secondo te è un errore ragionare in questi termini?.
Ciao.
ma adesso che hai sottolineato la cosa qualche dubbio mi viene !.
Secondo te è un errore ragionare in questi termini?.
Ciao.
Non credo perchè poi il risultato viene e Lorin ci da la conferma che va bene.
Ma vorrei capire il perchè teoricamente.
Ma vorrei capire il perchè teoricamente.
Dire si possono trascurare è una conseguenza del fatto che se avessimo messo in evidenza le quantità che noi diciamo sono trascurabili sarebbero andate a zero. In generale lo riporto con un esempio più facile:
$lim_(x->oo)(x^2+x)/(x^3+x^2+1) =oo/oo $ forma indeterminata, la quale può essere studiata mettendo in evidenza al numeratore e al denominatore la $x$ con il grado maggiore, quindi:
$(x^2(1+1/x))/(x^3(1+1/x+1/(x^2)))$ e ora facendo tenere $x->oo$ otteniamo $x^2/x^3$
$lim_(x->oo)(x^2+x)/(x^3+x^2+1) =oo/oo $ forma indeterminata, la quale può essere studiata mettendo in evidenza al numeratore e al denominatore la $x$ con il grado maggiore, quindi:
$(x^2(1+1/x))/(x^3(1+1/x+1/(x^2)))$ e ora facendo tenere $x->oo$ otteniamo $x^2/x^3$
Scusa Lorin adesso ragionando sugli infinitesimi mi è venuto un dubbio che vorrei chiarire per non portarmi dietro un concetto sbagliato.
Se parliamo di infinitesimi e vogliamo applicare il principio di eliminazione degli infinitesimi abbiamo nel caso del limite:
$ lim_(x -> 0) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $
le funzioni $ x^(1/2) $ e $ x^(1/3) $ che sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ quindi dovremmo,se non erro, eliminare proprio queste (cioè gli infinitesimi di ordine superiore)...se non stò facendo confusione il risultato dovrebbe essere 5/4.
Se il limite fosse $ lim_(x -> oo) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $ allora dovremmo visto che parliamo di infiniti (e non di infinitesimi) eliminare gli infiniti di ordine inferiore ed otterremmo come risultato 3/2.
Se non ho sbagliato il ragionamento il post iniziale è sbagliato nel risultato.
Secondo voi?.
Ciao e grazie.
Se parliamo di infinitesimi e vogliamo applicare il principio di eliminazione degli infinitesimi abbiamo nel caso del limite:
$ lim_(x -> 0) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $
le funzioni $ x^(1/2) $ e $ x^(1/3) $ che sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ quindi dovremmo,se non erro, eliminare proprio queste (cioè gli infinitesimi di ordine superiore)...se non stò facendo confusione il risultato dovrebbe essere 5/4.
Se il limite fosse $ lim_(x -> oo) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $ allora dovremmo visto che parliamo di infiniti (e non di infinitesimi) eliminare gli infiniti di ordine inferiore ed otterremmo come risultato 3/2.
Se non ho sbagliato il ragionamento il post iniziale è sbagliato nel risultato.
Secondo voi?.
Ciao e grazie.
Non ho capito il tuo ultimo post. (OT: hai postato qualche esempio?...te lo chiedo perchè non lo vedo)
Ha ragione espa28: $R=5/4$
Nell'ultimo post volevo soltanto dire che all'inizio avevo sbagliato l'eliminazione degli infinitesimi e avevo eliminato quelli di ordine inferiore inferiore invece dovevo trascurare quelli di ordine superiore...quindi il risultato che avevo dato all'inizio era sbagliato...cioè non era 3/2 ma 5/4.
"espa28":
Scusa Lorin adesso ragionando sugli infinitesimi mi è venuto un dubbio che vorrei chiarire per non portarmi dietro un concetto sbagliato.
Se parliamo di infinitesimi e vogliamo applicare il principio di eliminazione degli infinitesimi abbiamo nel caso del limite:
$ lim_(x -> 0) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $
le funzioni $ x^(1/2) $ e $ x^(1/3) $ che sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a $ x^(1/4) $ e $ x^(1/5) $ quindi dovremmo,se non erro, eliminare proprio queste (cioè gli infinitesimi di ordine superiore)...se non stò facendo confusione il risultato dovrebbe essere 5/4.
Se il limite fosse $ lim_(x -> oo) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $ allora dovremmo visto che parliamo di infiniti (e non di infinitesimi) eliminare gli infiniti di ordine inferiore ed otterremmo come risultato 3/2.
Se non ho sbagliato il ragionamento il post iniziale è sbagliato nel risultato.
Secondo voi?.
Ciao e grazie.
Che io sappia, non esiste il" principio di eliminazione degli infinitesimi"; perlomeno, che io sappia.
Inoltre, non si parla di infinitesimi o di infiniti dipendentemente da dove tende il limite, ma che tipo di funzioni abbiamo; quindi,
$lim_(x->+oo) \ 1/x$
si parla di infinitesimo, anche se il limite si fa per $x->+oo$.
Quando si fanno confronti asintotici, si possono eliminare gli infinitesimi o infiniti di ordine inferiore in somme e sottrazioni di infinitesimi e infiniti, quindi la cosa non segue da un presunto "principio di eliminazione degli infinitesimi" quanto dal criterio di confronto asintotico, dove si possono eliminare tutte quelle sostanze che tendono a $0$ (nel caso degli infinitesimi) o a $oo$ (nel caso degli infiniti) con una velocità minore rispetto ad un infinitesimo/infinito col quale li paragoniamo. I concetti di teoria devono essere assimiliati in maniera chiara, sennò non si va da nessuna parte. Per fare la prova, ti consiglio le prime volte di effettuare il passaggio di "messa in evidenza" dell'infinitesimo/infinito che reputi più "veloce" degli altri, così che tu possa convincerti della funzionalità che ha questo criterio.
**modificato per correzione di un concetto
Si quoto, e vorrei anche scusarmi con l'utente in quanto ero convinto che il limite tendesse a $+oo$ e non a $0$, forse è per questo che si è creata un pò di confusione
Non ci sono problemi Lorin 
Evidentemente questi infinitesimi e infiniti non vogliono entrarmi in testa...ma seguendo il tuo criterio i due limiti
$ lim_(x -> 0) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $ e $ lim_(x -> +oo) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $
andrebbero ad avere lo stesso risultato o erro?.
Evidentemente questi infinitesimi e infiniti non vogliono entrarmi in testa...ma seguendo il tuo criterio i due limiti
$ lim_(x -> 0) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $ e $ lim_(x -> +oo) ln (x^(1/2) +x^(1/4))/ln (x^(1/3) +x^(1/5)) $
andrebbero ad avere lo stesso risultato o erro?.
Ok ho riguardato la teoria e ho chiarito il dubbio che avevo anche grazie a ObServer.
Quindi ricapitolo anche per chi leggerà il post successivamente.
Nel caso del $ lim_(x-> 0) ln (x^(1/2) + x^(1/4))/ln (x^(1/3) + x^(1/5)) $ analizzando il numeratore devo trovare qual'è la funz. trascurabile ossia l' O piccolo tra $ x^(1/2) $ e $ x^(1/4) $...per fare questo confronto le funzioni ricordando che:
se ho $ lim_(x-> c) g(x)/ f(x)= 0 $ significa che g è un O piccolo di f per $ xrarr c $ .
Nel nostro caso troverò che $ lim_(x-> 0) x^(1/2)/ x^(1/4)= 0 $ quindi la funzione $ x^(1/2) $ è trascurabile rispetto a $ x^(1/4) $ (ossia $ x^(1/2) $ è un O piccolo di $ x^(1/4) $ per $ xrarr 0 $ ).
Nel caso $ lim_(x-> oo ) ln (x^(1/2) + x^(1/4))/ln (x^(1/3) + x^(1/5)) $ utilizzando lo stesso metodo otterremmo:
$ lim_(x-> oo ) x^(1/4)/ x^(1/2)= 0 $ quindi in questo caso è trascurabile la funzione $ x^(1/4) $ (ossia $ x^(1/4) $ è un O piccolo di $ x^(1/2) $ per $ xrarr oo $ ).
Quindi ritornando all'esercizio nel caso del $ lim_(x-> 0 ) $ il risultato è 5/4 mentre nel caso del $ lim_(x-> oo ) $ il risultato è 3/2.
Spero di non essermi sbagliato.
Ciao e grazie.
Quindi ricapitolo anche per chi leggerà il post successivamente.
Nel caso del $ lim_(x-> 0) ln (x^(1/2) + x^(1/4))/ln (x^(1/3) + x^(1/5)) $ analizzando il numeratore devo trovare qual'è la funz. trascurabile ossia l' O piccolo tra $ x^(1/2) $ e $ x^(1/4) $...per fare questo confronto le funzioni ricordando che:
se ho $ lim_(x-> c) g(x)/ f(x)= 0 $ significa che g è un O piccolo di f per $ xrarr c $ .
Nel nostro caso troverò che $ lim_(x-> 0) x^(1/2)/ x^(1/4)= 0 $ quindi la funzione $ x^(1/2) $ è trascurabile rispetto a $ x^(1/4) $ (ossia $ x^(1/2) $ è un O piccolo di $ x^(1/4) $ per $ xrarr 0 $ ).
Nel caso $ lim_(x-> oo ) ln (x^(1/2) + x^(1/4))/ln (x^(1/3) + x^(1/5)) $ utilizzando lo stesso metodo otterremmo:
$ lim_(x-> oo ) x^(1/4)/ x^(1/2)= 0 $ quindi in questo caso è trascurabile la funzione $ x^(1/4) $ (ossia $ x^(1/4) $ è un O piccolo di $ x^(1/2) $ per $ xrarr oo $ ).
Quindi ritornando all'esercizio nel caso del $ lim_(x-> 0 ) $ il risultato è 5/4 mentre nel caso del $ lim_(x-> oo ) $ il risultato è 3/2.
Spero di non essermi sbagliato.
Ciao e grazie.
Senza tanti teoremi, scrivete
$ln(x^(1/4)+x^(1/2))=ln(x^(1/4) (1+x^(1/4)))=ln(x^(1/4))+ln(1+x^(1/4))=(1/4)ln(x)+ln(1+x^(1/4))=$
$ln(x)((1/4)+ln(1+x^(1/4))/ln(x))$.
Analogamente $ln(x^(1/5)+x^(1/3))=ln(x)((1/5)+ln(1+x^(1/5))/ln(x))$.
Ora semplifichi $ln(x)$ sopra e sotto e noti che $ln(1+x^(1/4))/ln(x))$ e $ln(1+x^(1/5))/ln(x))$ sono infinitesimi per $x$ che tende a zero.
Si salva solo $(1/4)/(1/5)=5/4$.
$ln(x^(1/4)+x^(1/2))=ln(x^(1/4) (1+x^(1/4)))=ln(x^(1/4))+ln(1+x^(1/4))=(1/4)ln(x)+ln(1+x^(1/4))=$
$ln(x)((1/4)+ln(1+x^(1/4))/ln(x))$.
Analogamente $ln(x^(1/5)+x^(1/3))=ln(x)((1/5)+ln(1+x^(1/5))/ln(x))$.
Ora semplifichi $ln(x)$ sopra e sotto e noti che $ln(1+x^(1/4))/ln(x))$ e $ln(1+x^(1/5))/ln(x))$ sono infinitesimi per $x$ che tende a zero.
Si salva solo $(1/4)/(1/5)=5/4$.
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