Limite di un quoziente di integrali

[Paolo902]

Siano $f,g$ due funzioni definite in un intorno dell'origine della retta reale con $g$ mai nulla. Per ogni $L \in [-\infty, + \infty] $ e per ogni funzione $\rho$ non negativa, a supporto compatto con $\int_{\mathbb R} \rho = 1$ si ha

\[
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{\int_{\mathbb R}f(ry)\rho(y)dy}{\int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy}=L
\]

Anzitutto, io trovo che il testo sia vagamente impreciso: mi pare infatti che l'enunciato sia clamorosamente falso nel caso in cui il supporto di $rho$ sia disgiunto, ad esempio, dal dominio di $f$ (o sbaglio?).

Ad ogni modo, facendo finta che tutto "funzioni", come posso fare per provarlo?

Ecco alcune mie idee. Cominciamo dal caso $L$ finito, che mi pare il più difficile (gli altri dovrebbero essere semplici).

Scrivo quello che so: [tex]\forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta >0: \, 0 < \vert x \vert < \delta \Rightarrow \left\vert \frac{f(x)}{g(x)} -L \right\vert <\varepsilon[/tex] (per ogni $x$ per cui la cosa ha senso, ovviamente).

Voglio stimare [tex]\left\vert \frac{\int_{\mathbb R}f(ry)\rho(y)dy}{\int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy} -L \right\vert \le \frac{\int_{\mathbb R}\rho(y) \vert f(ry)-Lg(ry)\vert dy}{\vert \int_{\mathbb R}g(ry)\rho(y)dy \vert }[/tex]

Ora quello che non mi piace è che non c'è uniformità... Dovrei dire che se $r<\frac{\delta}{y}$ allora [tex]\vert f(ry)-Lg(ry)\vert < \varepsilon\vert g(ry) \vert[/tex], ma poi?

Per evitare questi problemi di uniformità, ho pensato di cambiare variabile fin da subito ($x=ry$) ma questo non risolve comunque le cose (usando l'additività dell'integrale sistemerei solo il pezzo su $[0,delta]$). In più, in tutti i miei tentativi, non riesco a vedere dove usare le ipotesi su $rho$ (in particolare, che il suo integrale faccia 1).

Non sono riuscito a concludere molto altro: forse che c'è qualche passaggio al limite sotto il segno di integrale? Ho anche pensato a De L'Hopital, ma su $f$ e $g$ non so praticamente nulla...

Che dite? Qualche idea, per piacere? Grazie

[Principe2]

Il fatto che l'integrale di $\rho$ faccia $1$ lo puoi usare per dire che $f(x)=\int f(x)\rho(y)dy$ e stessa cosa per $g$.

Facciamo un primo passo: supponiamo che $f$ e $g$ siano entrambe continue in $0$. Allora anche gli integrali a secondo membro sono continui in $0$ (visti come funzioni di $r$) e se li calcoli singolarmente, al limite, ti viene (con "ovvia" notazione)

$\lim_{r\to0}\int f(ry)\rho(y)=\lim_{r\to0}F(r)=F(0)=\int f(0)\rho(y)dy=f(0)\int\rho=f(0)$

dunque il numeratore al primo membro e' uguale al numeratore al secondo membro. Stessa cosa per il denominatore.

Spero che ti basti come aiuto e che riesca da solo ad evitare di usare la continuita' di $f$ e $g$.

[Paolo902]

Ciao Valerio,

grazie per la risposta. Mi è tutto chiaro quanto dici; non vedo ancora la soluzione, cioè a questo punto non so come evitare le continuità, ma continuo a pensarci.

Nel frattempo, grazie mille