Limite di un operatore

[Daniele Florian]

Ciao, vorrei soltanto chiedervi se il mio ragionamento va bene per il seguente esercizio

Stabilire il limite per $ n->oo $ dell' operatore su $ L^2(0,oo) $:
$ T(f(x))=f(x+n) $

Dunque, dato che le funzioni in $ L^2(0,oo) $ tendono a 0 a $oo$ ne deduco che $T$ tende all' operatore nullo, perchè shifta a siistra le funzioni... è giusto?

[gugo82]

Le funzioni di \(L^2\) non tendono a zero all'infinito (cfr. qui)!

[Daniele Florian]

ah gi, praticamente quella funzione tene a infinito ma mentre sale diminuisce sempre di più l intervallino e alla fine è in $L^2$.
Ma quindi il limite dell operatore non esiste, perchè non c è alcuna condizione sulle funzioni in esame?

[Rigel1]

Data \(f\in L^2(0,+\infty)\), prova a calcolare \(\|T_n f\|_2\) e vedi cosa succede al limite.

[Daniele Florian]

$ ||T(f)||_2=(int_0^oo f^2(x+n)dx)^(1/2)=(int_0^oo f^2(x)dx-int_0^n f^2(x)dx)^(1/2) $
???
tende a zero per n->$oo$?

[gugo82]

Beh, sì.

Ma si può dire tutto un po' meglio.

Innanzitutto, vale la pena osservare che per l'invarianza per traslazioni della misura di Lebesgue si ha:
\[
\| T_nu\|_2^2 = \int_0^\infty u(x+n)\ \text{d} x = \int_n^\infty |u(x)|^2\ \text{d} x \leq \| u\|_2^2
\]
per ogni \(u\in L^2(0,\infty)\) e che \(T_n\) è limitato; perciò \(T_n\) è un operatore lineare e continuo di \(L^2\) in sé.
La norma di \(T_n\) è \(\leq 1\); ma, dato che per \(u=\chi_{]n,n+1[}\) si ha \(\| T_nu\|_2 = \| u\|_2\), dunque \(\| T\| =1\).

Ora, scelta \(f\in C_c(]0,\infty[)\), il supporto di \(f\) è limitato e perciò esiste un \(\nu \in \mathbb{N}\) tale che \(\operatorname{supp} f\subseteq [0,\nu]\); conseguentemente, per \(n\geq \nu\) si ha \(f(x)=0\) in \(]n,\infty[\) dunque:
\[
\forall n\geq \nu ,\quad \| T_n f\|_2^2 = \int_n^\infty |f(x)|^2\ \text{d} x = 0
\]
cosicché \(T_n f\) è la funzione nulla per ogni \(n\geq \nu \). Ne viene che l'operatore \(T:=\lim_n T_n\) è ben definito in \(C_c\) e coincide con l'operatore nullo di \(C_c\) in \(L^2\).

Detto ciò, fissata \(u\in L^2\), comunque si scelga \(\varepsilon >0\) esiste per densità una \(f^\varepsilon \in C_c\) tale che \(\| u-f^\varepsilon\|_2 <\varepsilon /3\); quindi:
\[
\begin{split}
\| T_n u\|_2 &\leq \| T_nu -T_nf^\varepsilon \|_2 + \| T_n f^\varepsilon\|_2 \\
&\leq \| u-f^\varepsilon \|_2 + \| T_n f^\varepsilon\|_2 \\
&\leq \frac{\varepsilon}{3} + \| T_n f^\varepsilon\|_2\; ;
\end{split}
\]
dato che \(\| T_nf^\varepsilon \|_2= 0\) per \(n\) sufficientemente grande, diciamo \(n\geq \nu\), si ha:
\[
\forall n\geq \nu,\quad \| T_nu\|_2 \leq \frac{\varepsilon}{3} <\varepsilon
\]
dunque:
\[
\lim_n \| T_n u \|_2 =0
\]
e ciò importa che l'operatore \(T:=\lim_n T_n\) è ben definito pure per \(u\in L^2\) e che esso è l'operatore nullo \(O\) di \(L^2\) in sé, ossia l'operatore definito ponendo \(O: L^2 \ni u \mapsto o \in L^2\) (ove \(o\) è la funzione nulla di \(L^2\)).

Ora, ti domando: la successione di operatori \((T_n)\) converge in norma operatoriale all'operatore nullo \(O\)?