Limite di un logaritmo complesso
Devo dimostrare che esiste $lim_{n\to+\infty} ln( (1+i/n)^n )$ in $\mathbb C$ dove $ln$ è il logaritmo complesso. Ho sviluppato una soluzione ma non sono sicuro che sia del tutto corretta quindi mi servirebbe la vostra opinione.
Io ho osservato che $(1+i/n)^n = e^{n ln (1+i/n)}$. Allora $ n ln (1+i/n)= \frac{ln (1+i/n)}{1/n} ~ 0/0$ per $n\to+\infty$. Allora ho considerato $\frac{1/((1+i/n))(-i/(n^2))}{-1/(n^2)} = i/(1+i/n) \to i$ quando $n\to+\infty$. Questo lo posso fare perchè so che il logaritmo complesso è una funzione olomorfa su $\mathbb C - {x+iy \in \mathbb C | x<=0, y=0}$ con derivata complessa $Dln(z) = 1/z$. Me ne viene quindi che $lim_{n\to+\infty} (1+i/n)^n = e^{n ln (1+i/n)} = e^i$.
Tornando al problema iniziale: $lim_{n\to+\infty} ln( (1+i/n)^n ) = lim_{n\to+\infty} ln(e^i) = ln(e^i) = ln(cos(1)+i sen(1)) = log\sqrt(cos^2(1)+sen^2(1)) + i \sigma(cos(1)+i sin(1))$ dove con $\sigma(x+iy)$ indico la funzione argomenti principale che è uguale a $arctg (y/x)$ quando $x > 0$. In questo caso $x = cos(1) > 0$, quindi:
$log\sqrt(cos^2(1)+sen^2(1)) + i \sigma(cos(1)+i sen(1)) = log(1) + i arctg(sen(1)/cos(1)) = iarctg(tg(1)) = i \in \mathbb C$
Giungo quindi all'aver dimostrato che il limite esiste in $\mathbb C$. È corretto il ragionamento?
Io ho osservato che $(1+i/n)^n = e^{n ln (1+i/n)}$. Allora $ n ln (1+i/n)= \frac{ln (1+i/n)}{1/n} ~ 0/0$ per $n\to+\infty$. Allora ho considerato $\frac{1/((1+i/n))(-i/(n^2))}{-1/(n^2)} = i/(1+i/n) \to i$ quando $n\to+\infty$. Questo lo posso fare perchè so che il logaritmo complesso è una funzione olomorfa su $\mathbb C - {x+iy \in \mathbb C | x<=0, y=0}$ con derivata complessa $Dln(z) = 1/z$. Me ne viene quindi che $lim_{n\to+\infty} (1+i/n)^n = e^{n ln (1+i/n)} = e^i$.
Tornando al problema iniziale: $lim_{n\to+\infty} ln( (1+i/n)^n ) = lim_{n\to+\infty} ln(e^i) = ln(e^i) = ln(cos(1)+i sen(1)) = log\sqrt(cos^2(1)+sen^2(1)) + i \sigma(cos(1)+i sin(1))$ dove con $\sigma(x+iy)$ indico la funzione argomenti principale che è uguale a $arctg (y/x)$ quando $x > 0$. In questo caso $x = cos(1) > 0$, quindi:
$log\sqrt(cos^2(1)+sen^2(1)) + i \sigma(cos(1)+i sen(1)) = log(1) + i arctg(sen(1)/cos(1)) = iarctg(tg(1)) = i \in \mathbb C$
Giungo quindi all'aver dimostrato che il limite esiste in $\mathbb C$. È corretto il ragionamento?
Risposte
Ma non era molto più semplice scrivere:
$ln[(1+"i"/n)^n]=(ln(1+"i"/n))/(1/n)$
ed applicare il limite notevole del logaritmo (che vale anche in $CC$)?
$ln[(1+"i"/n)^n]=(ln(1+"i"/n))/(1/n)$
ed applicare il limite notevole del logaritmo (che vale anche in $CC$)?
Ho preferito fare una dimostrazione più formale senza utilizzare il limite notevole per il semplice fatto che, essendo un esercizio d'esame, il mio professore preferisce il minor uso possibile di affermazioni ingiustificate. Quindi non ho usato il limite notevole. Per il resto il procedimento è corretto?
"Injo":
Ho preferito fare una dimostrazione più formale senza utilizzare il limite notevole per il semplice fatto che, essendo un esercizio d'esame, il mio professore preferisce il minor uso possibile di affermazioni ingiustificate. Quindi non ho usato il limite notevole. Per il resto il procedimento è corretto?
"Ingiustificato" il limite notevole?
Non vedo perchè, visto che è conseguenza diretta dello sviluppo in serie di potenze di centro $0$ della funzione olomorfa $ln(1+z)$ (che dovresti ben conoscere).
La tua soluzione mi pare corretta; però, se devo esser franco, mi pare anche sin troppo arzigogolata.
Il più delle volte una soluzione di tal fatta indica che non è ancora ben chiaro quanti e quali risultati veri "nel mondo reale" valgano pure "nel mondo complesso"; insomma, mi sa che manca ancora un po' di familiarità con il campo complesso.
Ecco, esatto, visto che ho studiato solo alcuni cenni introduttivi all'analisi complessa non ero completamente sicuro che determinati concetti che ho utilizzato (come, ad esempio, De l'Hopital) potessero essere estesi in maniera indolore al campo complesso. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo