Limite di un integrale [RISOLTO]

[giuscri]

Sono alle prese con questo esercizio: stabilire al variare del parametro \(a\) reale il valore di \[\lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \log{(1 +t)}} dt\]
Ora... è evidente che stia sbagliando approccio: pensavo di andare di forza bruta: trovare la primitiva, usare T-Barrow su \([x, x+a]\), passare al limite e finire così.
Ma come la trovo una primitiva? La cosa al momento mi sembra tosta. Quanto di più grazioso ho tirato fuori è \(u = \sqrt{t}\), quindi \[\int_{u(x)}^{u(x+a)} {\frac{2}{\log{(1 + u^2)}} du}\] ...tutte le altre (poche) idee mi hanno portato fuori strada di brutto.

D'altronde, potrei evitare di trovarmi una primitiva? \(f\) è sicuramente R-integrabile su \([x, x+a]\) -per \(x\) grandi -quindi non posso manco dire "non converge!, stop".

Qualche idea su come portarmi a casa l'esercizio?

Vi ringrazio per l'attenzione intanto!

[chisigma]

Prova a tener conto che, per t 'abbastanza grande', e' $\frac{1}{\sqrt{t}\ \ln (1+t)} < \frac{1}{\sqrt {t}}$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[totissimus]

Th. della media:

\(\displaystyle 0< \int_x^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \log{(1 +t)}} dt=\frac{a}{\sqrt{\xi}\log(1+\xi)}\leq\frac{a}{\sqrt{x}\log(1+x)}\) con \( x < \xi

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[Noisemaker]

la funzione integranda è definita per $t> 0;$ quindi risulta integralbile in qalsiasi intervallo che non contenga $0,$ poichè continua; si nota che nel punto $0$ l'integrale diventa improrpio, e si verifaca facilmente che diverge;gli estremi di integrazione sono necessariamente obbilgati a soddisfare le seguenti condizioni:
\[\begin{cases}x>0\\ x+a>0;
\end{cases}\]
ma anche in questo caso l'integrale improprio purtroppo diverge; allora per il teorema della media sai che esiste un punto $\xi\in [a,b]$ tale che
\begin{align}
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)
\end{align}
allora si ha che , per $x<\xi \begin{align}
0<\int_{x}^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \ln (1+t)}= \frac{a}{\sqrt{\xi} \ln (1+\xi)} < \frac{a}{\sqrt{x } \ln (1+x )}
\end{align}
e passando al limite della funzioni esterna, si ha che il limite vale zero per il teorema dei carabinieri.\[ \lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \log{(1 +t)}} dt =0\]

[aizarg1]

Applica il teorema della media e ottieni:

\( \displaystyle 0<\int_{x}^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \ln (1+t)}= \frac{a}{\sqrt{\xi} \ln (1+\xi)} < \frac{a}{\sqrt{x } \ln (1+x )} \)

quindi passi al limite applicando il teorema del confronto.

[giuscri]

"Noisemaker":la funzione integranda è definita per $t> -1, t\ne0;$

In realtà è definita su \((0, +\infty)\), no?

Comunque ero arrivato al vostro stesso risultato usando il suggerimento di chisigma, senza usare il teorema della media. Cioé: \[\lim_{x \to +\infty} \int_x^{x +a} \frac{1}{\sqrt{t}\log{(1 +t)}} dt \le \lim_{x \to +\infty} \int_x^{x +a} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = 2 \lim_{x \to +\infty} {(\sqrt{x +a} - \sqrt{x})} = \lim_{x \to +\infty} {\frac{a}{\sqrt{x}}} = 0\] i.e., per concludere l'esercizio \[ \lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+a} \frac{1}{\sqrt{t} \log{(1 +t)}} dt = 0, \forall{a} \in \mathbb{R}\]

...che mi sembra coerente con quanto osservato da voi.

Be', grazie

EDIT: comunque sarebbe stato possibile risolverlo anche cercandosi una primitiva di \(1/\sqrt{t} \log{(1 +t)}\)? O ci sono poche speranze di trovarsela?

[Noisemaker]

"giuscri":[quote="Noisemaker"]la funzione integranda è definita per $t> -1, t\ne0;$

In realtà è definita su \((0, +\infty)\), no?
[/quote]
si corretto