Limite di un integrale

[Angelxx]

Salve approfitto della votra buona volonta per chiederci un problema sortomi da poco...vorrei capire bene come funziona la cosa...come si icalcolano i limiti di integrali?
In particolar modo questo:

$ lim _(n->+oo)int_{0}^{1} cos(sqrt{n}x}/{1+nx^2}dx $

vi ringrazio anticipatamente dell'aiuto dato
alla prossima!!

[_Tipper]

Prova a calcolare il limite puntuale della funzione integranda e guarda se la convergenza fosse pure uniforme, in tal caso potresti scambiare il limite con l'integrale. In alternativa puoi provare ad applicare il th. della convergenza dominata.

[NightKnight1]

Ricordo un risultato sugli integrali impropri:

Sia $ f: [a, +\infty) -> RR$ una funzione continua e decrescente in $ [a, +\infty) $ tale che $ lim_{x->+\infty} f(x) = 0$.
Allora la funzione $ f(x) cos x $ è integrabile in senso generalizzato in $ [a, +\infty) $ cioè è finito il limite $ lim_{b->+\infty} int_a^b f(x) cos x dx $.

Con la sostituzione $ t=sqrt(n)x$ si ha che:
$ int_0^1 cos(sqrt(n)x)/(1+nx^2) dx = 1/sqrt(n) int_0^sqrt(n) cos(t)/(1+t^2) dt $. Ora per il risultato citato sopra l'integrale che compare nel membro a destra converge a $L \in RR$ per $n$ che tende all'infinito; siccome $1/sqrt(n)$ va a zero al tendere di $n$ all'infinito, abbiamo che, per il teorema del limite del prodotto, il limite cercato è zero.