Limite di un integrale
Buongiorno, c'è un passaggio in una dimostrazione che non riesco a capire:
$\frac{\lim_{|V|\to 0}\int_{V}A(x)dx}{|V|}=A(x)$
dove $A(x)$ è una funzione e $V$ è una regione su cui faccio l'integrale, con il simbolo $|V|$ si intende misura di $V$.
C'è qualche teorema che mi permette di fare quel passaggio?
Grazie
$\frac{\lim_{|V|\to 0}\int_{V}A(x)dx}{|V|}=A(x)$
dove $A(x)$ è una funzione e $V$ è una regione su cui faccio l'integrale, con il simbolo $|V|$ si intende misura di $V$.
C'è qualche teorema che mi permette di fare quel passaggio?
Grazie
Risposte
Un po' di contesto in più non sarebbe male:
comunque quell'uguaglianza al limite mi sembra una sorta di "reinterpretazione" del Teorema della media integrale..
Saluti dal web.
comunque quell'uguaglianza al limite mi sembra una sorta di "reinterpretazione" del Teorema della media integrale..
Saluti dal web.
Tra l'altro, sicuro che c'è $dx$ come variabile di integrazione, e non $dV$? Non ha senso integrare su una lunghezza con una misura che è di volume...mi aspetterei per lo meno un "dxdydz" al posto di quel "dx"
Mi sa che la Op voleva scrivere $lim_(|V| to 0)int_V A(vec{t}) d vec(t) = A(vec{x}) |V|$ $AA vec{x} in V $:
saluti dal web.
saluti dal web.
@ Claudia87an: Dove hai trovato questa formula?
Una relazione "seria" di limite può essere la seguente:
\[
\lim_{|V|\to 0} \frac{\int_V A(x+y)\ \text{d} y}{|V|} = A(x)
\]
per \(A\) continua in un aperto.
@ theras: La cosa non è così semplice.
L'insieme \(V\) non è fisso e la sua misura tende a \(0\), quindi non ha alcun senso l'uguaglianza che hai scritto quantificando su \(x\in V\).
@ newton_1372: La notazione \(\text{d} V\) (che trovo semplicemente orribile) è usata solo dai Fisici Matematici... In Analisi non si chiama mai con lo stesso nome l'insieme e la variabile d'integrazione.
Una relazione "seria" di limite può essere la seguente:
\[
\lim_{|V|\to 0} \frac{\int_V A(x+y)\ \text{d} y}{|V|} = A(x)
\]
per \(A\) continua in un aperto.
@ theras: La cosa non è così semplice.
L'insieme \(V\) non è fisso e la sua misura tende a \(0\), quindi non ha alcun senso l'uguaglianza che hai scritto quantificando su \(x\in V\).
@ newton_1372: La notazione \(\text{d} V\) (che trovo semplicemente orribile) è usata solo dai Fisici Matematici... In Analisi non si chiama mai con lo stesso nome l'insieme e la variabile d'integrazione.
"gugo82":
@ Claudia87an: Dove hai trovato questa formula?
Una relazione "seria" di limite può essere la seguente:
\[
\lim_{|V|\to 0} \frac{\int_V A(x+y)\ \text{d} y}{|V|} = A(x)
\]
per \(A\) continua in un aperto.
@ theras: La cosa non è così semplice.
L'insieme \(V\) non è fisso e la sua misura tende a \(0\), quindi non ha alcun senso l'uguaglianza che hai scritto quantificando su \(x\in V\).
@ newton_1372: La notazione \(\text{d} V\) (che trovo semplicemente orribile) è usata solo dai Fisici Matematici... In Analisi non si chiama mai con lo stesso nome l'insieme e la variabile d'integrazione.
Effettivamente non l'ho trovata su nessun libro ma sugli appunti presi a lezione.
L'idea era passare da una legge di bilancio macroscopico:
$\int_V U_t(x,t)+div_xF dx=0$
a una legge di bilancio microscopico
$ U_t(x,t)+div_xF =0$
dove $dx=dx_1dx_2dx_3$ mentre $U(x,t)$ rappresenta la densità di volume e $F$ è il flusso
Il professore ha detto che dividendo la prima per $|V|$ e mandando $|V|$ a $0$ si ottiene la seconda.
@Gugo.
Grazie,G:
la castronata m'è evidente,ora!!
Ma vediamo se ho ben capito(ormai un po' mi conosci,e sai che dovevi aspettartelo
):
quell'uguaglianza al limite è pure a tuo avviso una sorta di generalizzazione del fatto che $EE lim_(x to a)(int_a^x f(t)dt)/(x-a)=f(a)$ $AA f in C^0([a,b])$?
Te lo chiedo perché,se c'ho visto bene,essa è più complicata da formalizzare per benino che da dimostrare:
la verifica,ammesso e non concesso di non ave fatto ulteriori e/orrori,sotto le opportune ipotesi del caso è resa "comoda" proprio dal teorema della media integrale in $RR^n$.
Aspetto ovviamente lumi da chiunque voglia fornirne:
saluti dal web.
Grazie,G:
la castronata m'è evidente,ora!!
Ma vediamo se ho ben capito(ormai un po' mi conosci,e sai che dovevi aspettartelo
):quell'uguaglianza al limite è pure a tuo avviso una sorta di generalizzazione del fatto che $EE lim_(x to a)(int_a^x f(t)dt)/(x-a)=f(a)$ $AA f in C^0([a,b])$?
Te lo chiedo perché,se c'ho visto bene,essa è più complicata da formalizzare per benino che da dimostrare:
la verifica,ammesso e non concesso di non ave fatto ulteriori e/orrori,sotto le opportune ipotesi del caso è resa "comoda" proprio dal teorema della media integrale in $RR^n$.
Aspetto ovviamente lumi da chiunque voglia fornirne:
saluti dal web.
@ theras: Certo... Ma vedi che anche nella tua formula stai, di fatto, fissando un punto cioé \(a\).
Facendo il cambiamento di variabile \(y=x-a\), il tuo limite diventa:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\ \int_0^y f(a+y)\ \text{d} y\; ,
\]
che è molto simile a quello che ho scritto sopra.
@ Claudia87an: Lascia perdere questi passaggi.
La legge che vuoi si ricava formalmente applicando un risultato che va sotto il nome (abbastanza pomposo) di lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni. Esso ti dice che, se una funzione \(f\) è tale che
\[
\int_{\Omega} f(x)\ \phi (x)\ \text{d} x = 0
\]
per ogni funzione \(\phi \in C_c^\infty (\Omega)\), allora \(f(x)=0\) in \(\Omega\). Dato che le caratteristiche di insiemi misurabili "buoni" si possono approssimare con funzioni \(C_c^\infty\), in Fisica Matematica si prendono al posto delle \(\phi\) le caratteristiche \(\chi_V\) e si scrivono cose come quelle che hai incontrato.
Facendo il cambiamento di variabile \(y=x-a\), il tuo limite diventa:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\ \int_0^y f(a+y)\ \text{d} y\; ,
\]
che è molto simile a quello che ho scritto sopra.
@ Claudia87an: Lascia perdere questi passaggi.
La legge che vuoi si ricava formalmente applicando un risultato che va sotto il nome (abbastanza pomposo) di lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni. Esso ti dice che, se una funzione \(f\) è tale che
\[
\int_{\Omega} f(x)\ \phi (x)\ \text{d} x = 0
\]
per ogni funzione \(\phi \in C_c^\infty (\Omega)\), allora \(f(x)=0\) in \(\Omega\). Dato che le caratteristiche di insiemi misurabili "buoni" si possono approssimare con funzioni \(C_c^\infty\), in Fisica Matematica si prendono al posto delle \(\phi\) le caratteristiche \(\chi_V\) e si scrivono cose come quelle che hai incontrato.
O.K. G(razie):
m'era chiaro che avevo interpretato male il quesito ed il problema,
e soprattutto m'è stato illuminante,per quanto siano lontani nella memoria i miei rudimenti di Calcolo delle Variazioni, quanto hai scritto su all'Op
.
Saluti dal web.
m'era chiaro che avevo interpretato male il quesito ed il problema,
e soprattutto m'è stato illuminante,per quanto siano lontani nella memoria i miei rudimenti di Calcolo delle Variazioni, quanto hai scritto su all'Op
.Saluti dal web.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo