Limite di un integrale
ciao a tutti, ho questa funzione per x>0
f(x)= $ int_(0)^(x) (e^t-1)/sqrtt dt $
ho provato a svolgerlo
f(x)=$ int_(0)^(x) (e^t)/sqrtt dt -int_(0)^(x) 1/sqrtt dt $
quindi
f(x)= $ int_(0)^(x) (e^t)/sqrtt dt - 2sqrtx $
dovrei trovare il $ lim_(x -> 0+)f(x) $ e $ lim_(x -> +oo )f(x) $
ma non sono il grado di risolvere il primo integrale in quanto non ho idea di che cosa sia la funzione erfi
vorrei sapere se c'è un altro metodo per trovare i limiti
grazie
f(x)= $ int_(0)^(x) (e^t-1)/sqrtt dt $
ho provato a svolgerlo
f(x)=$ int_(0)^(x) (e^t)/sqrtt dt -int_(0)^(x) 1/sqrtt dt $
quindi
f(x)= $ int_(0)^(x) (e^t)/sqrtt dt - 2sqrtx $
dovrei trovare il $ lim_(x -> 0+)f(x) $ e $ lim_(x -> +oo )f(x) $
ma non sono il grado di risolvere il primo integrale in quanto non ho idea di che cosa sia la funzione erfi
vorrei sapere se c'è un altro metodo per trovare i limiti
grazie
Risposte
Il tuo procedimento non è lecito, però!
L'integrale è improprio in \(x = 0\), quindi quando lo guardi devi leggere
\[
\lim_{a \to 0} \int_a^x (\dots).
\]
Capisci allora che non puoi spezzare il limite nella somma di due limiti se non sai che entrambi gli addendi esistono finiti.
Naturalmente, lo scopo dell'esercizio è proprio questo!
Devi affrontare l'integrale tutto d'un pezzo, cercando di dire se è finito o infinito.
L'integrale è improprio in \(x = 0\), quindi quando lo guardi devi leggere
\[
\lim_{a \to 0} \int_a^x (\dots).
\]
Capisci allora che non puoi spezzare il limite nella somma di due limiti se non sai che entrambi gli addendi esistono finiti.
Naturalmente, lo scopo dell'esercizio è proprio questo!
Devi affrontare l'integrale tutto d'un pezzo, cercando di dire se è finito o infinito.
utilizzo quindi l'integrazione per parti?
$ (e^x-1)*(2sqrtx)-int_(0)^(x) 2sqrtt*e^t dt $
però lo stesso non riesco a risolvere l'integrale..
mi sa che non ci capisco niente
$ (e^x-1)*(2sqrtx)-int_(0)^(x) 2sqrtt*e^t dt $
però lo stesso non riesco a risolvere l'integrale..
mi sa che non ci capisco niente
non avventurarti nella ricerca dell' insieme delle primitive ... vedi se converge o meno, cioè considera l'integrale improprio
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{e^x-1}{\sqrt x} \,\,dx\]
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{e^x-1}{\sqrt x} \,\,dx\]
se prendo come funzione campione g(x)= $ e^x/sqrtx $
e faccio il $ lim_(x -> 0+) f(x)/g(x)=lim_(x -> 0+) (e^x-1)/(sqrtx*(e^x)/sqrtx)=0 $
è giusto il procedimento?
e faccio il $ lim_(x -> 0+) f(x)/g(x)=lim_(x -> 0+) (e^x-1)/(sqrtx*(e^x)/sqrtx)=0 $
è giusto il procedimento?
@Noisemaker: perché aggiungere guai a \(+\infty\)?
@claudette: boh, dipende da cosa riesci a concludere da quel passaggio.,. Cerca il confronto con qualcosa che sai già convergere o divergere, no?
@claudette: boh, dipende da cosa riesci a concludere da quel passaggio.,. Cerca il confronto con qualcosa che sai già convergere o divergere, no?
forse ho capito..dunque
$ e^t-1 ~ t $ e quindi $ (e^t-1)/sqrtt ~ t/sqrtt $
poichè l'integrale improprio $ int_(0)^(x) t/sqrtt dt $ converge
per il criterio del confronto asintotico converge anche
$ int_(0)^(x) (e^t-1)/sqrtt dt $
e il $ lim_(x -> 0+) f(x)=0 $
mentre il $ lim_(x -> +oo ) f(x)=oo $
..però forse per il secondo limite dovrei fare un altro ragionamento
$ e^t-1 ~ t $ e quindi $ (e^t-1)/sqrtt ~ t/sqrtt $
poichè l'integrale improprio $ int_(0)^(x) t/sqrtt dt $ converge
per il criterio del confronto asintotico converge anche
$ int_(0)^(x) (e^t-1)/sqrtt dt $
e il $ lim_(x -> 0+) f(x)=0 $
mentre il $ lim_(x -> +oo ) f(x)=oo $
..però forse per il secondo limite dovrei fare un altro ragionamento
"Raptorista":
@Noisemaker: perché aggiungere guai a \(+\infty\)?
non deve calcolare il limiti $x\to0$ e $x\to+\infty$?
"claudette":
forse ho capito..dunque
$ e^t-1 ~ t $ e quindi $ (e^t-1)/sqrtt ~ t/sqrtt $
poichè l'integrale improprio $ int_(0)^(x) t/sqrtt dt $ converge
per il criterio del confronto asintotico converge anche
$ int_(0)^(x) (e^t-1)/sqrtt dt $
e il $ lim_(x -> 0+) f(x)=0 $
mentre il $ lim_(x -> +oo ) f(x)=oo $
devi stare attenta/o ...
\[e^x-1\sim t,\qquad \mbox{se}\quad x\to0,,\qquad \mbox{ma} \qquad e^x-1\sim e^x,\qquad \mbox{se}\quad x\to+\infty \]
"Noisemaker":
[quote="Raptorista"]@Noisemaker: perché aggiungere guai a \(+\infty\)?
non deve calcolare il limiti $x\to0$ e $x\to+\infty$?[/quote]
My bad, non l'avevo capito dal primo post
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