Limite di un integrale
Salve a tutti:)
sto preparando ora Analisi 1 e non riesco bene a capire il meccanismo della risoluzione dei limiti con gli integrali:
ad esempio:
\( \text{lim x }\ \rightarrow\ 0 \)
\[\frac{ \int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t}{x(1-cos(x))} \]
utilizzando il teorema della media integrale posso dire k \[\int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t =\ f(\gamma)(3x)\] con \(\gamma\) conpreso tra gli estremi di integrazione.
arrivo ad una formula del tipo
\[\frac{sin(\gamma^2)3x }{x(1-cos(x))} \]
applicando i limiti notevoli del seno e del coseno e la continuità del seno in un intorno di zero avendo sostituito sinx^2 con sin^2x
arrivo ad una forma \[\frac{2\gamma^2 3}{x^2}\]
ora non so come andare avanti : se posso considerare x e gamma come la stessa variabile e applicare gli infinitesimi equivalenti o altro
sto preparando ora Analisi 1 e non riesco bene a capire il meccanismo della risoluzione dei limiti con gli integrali:
ad esempio:
\( \text{lim x }\ \rightarrow\ 0 \)
\[\frac{ \int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t}{x(1-cos(x))} \]
utilizzando il teorema della media integrale posso dire k \[\int_0^{3x} sin(t^2)\ \text{d} t =\ f(\gamma)(3x)\] con \(\gamma\) conpreso tra gli estremi di integrazione.
arrivo ad una formula del tipo
\[\frac{sin(\gamma^2)3x }{x(1-cos(x))} \]
applicando i limiti notevoli del seno e del coseno e la continuità del seno in un intorno di zero avendo sostituito sinx^2 con sin^2x
arrivo ad una forma \[\frac{2\gamma^2 3}{x^2}\]
ora non so come andare avanti : se posso considerare x e gamma come la stessa variabile e applicare gli infinitesimi equivalenti o altro
Risposte
Spesso può essere utile utilizzare la regola di l'Hopital.
... ed il teorema fondamentale del calcolo integrale...
"Rigel":
Spesso può essere utile utilizzare la regola di l'Hopital.
purtroppo ho un po di confusione sull'argomento....non riesco a capire come devo trattare gamma.......
Dimentica $\gamma$; non è conveniente in questa sede il teorema della media. Conviene seguire la strada suggerita da Rigel e Noisemaker.
"Noisemaker":
... ed il teorema fondamentale del calcolo integrale...
il teorema fondamenale del calcolo mi permette nel limite di sostituire l'integrale con un valore della funzione nell'intervallo giusto? similmente al teorema della media
purtroppo non avendo mia fatto esempi di calcolo e non essendocene sui miei libri non riesco a capire bene come funzioni soprattutto in questi esercizi
Considera una generica primita $F(x)$ della funzione integranda; allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale sai che, essendo $\sin t^2$ una funzione continua, puoi scrivere
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{3x}\sin t^2\,\,dt}{x(1-\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{F(3x)-F(0)}{x(1-\cos x)}
\end{align*}
a questo punto, come Rigel ti ha suggerito, si potrebbe utilizzae De L'Hopital, e tu sai che per applicarlo è necessario avere una forma indeterminata del tipo $0/0$, oppure $\mbox{qualsiasi cosa}/ { \infty}$ ... siamo in queste ipotesi?
\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{3x}\sin t^2\,\,dt}{x(1-\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{F(3x)-F(0)}{x(1-\cos x)}
\end{align*}
a questo punto, come Rigel ti ha suggerito, si potrebbe utilizzae De L'Hopital, e tu sai che per applicarlo è necessario avere una forma indeterminata del tipo $0/0$, oppure $\mbox{qualsiasi cosa}/ { \infty}$ ... siamo in queste ipotesi?
dato xtendente a 0 il numeratore tende a 0 e con esso il donominatore quindi si ma essedno un integrale definito il risultato è sempre la funzione integranda maggiorata da 0 a 3x?
siamo difronte ad una forma interminata $0/0$ proprio perchè $x\to0$ e dunque a numeratore abbiamo $F(0)-F(0)=0;$ a questo punto possiamo applicare De L'Hopital
\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{3x}\sin t^2\,\,dt}{x(1-\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{F(3x)-F(0)}{x(1-\cos x)} &\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{3\cdot F'(3x)-F'(0)}{ 1-\cos x+x\sin x } \end{align*}
a questo punto dovresti vedere qualcosa ...
\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{3x}\sin t^2\,\,dt}{x(1-\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{F(3x)-F(0)}{x(1-\cos x)} &\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{3\cdot F'(3x)-F'(0)}{ 1-\cos x+x\sin x } \end{align*}
a questo punto dovresti vedere qualcosa ...
così arrivo a scrivere
\[\frac{3sin(3x)^2}{1-cosx+xsinx}\]
che è ancora una forma indeterminata...personalmente andrei avanti ad applicare de l'hopital
\[\frac{3sin(3x)^2}{1-cosx+xsinx}\]
che è ancora una forma indeterminata...personalmente andrei avanti ad applicare de l'hopital
puoi continuare con De L'Hopital, oppure ricordare che quando $x\to0$ hai che
\begin{align*} \sin x\sim x,\qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} \end{align*}
\begin{align*} \sin x\sim x,\qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} \end{align*}
delopitalizzando altre due volte arrivo ad un risultato =18........rimango ancora leggemente perplesso riguardo a tutta la faccenda purtroppo
riguardo al mio quesito iniziale ( tralasciando la notazione del limite) il procedimento era giusto anche se non risolutivo?
riguardo al mio quesito iniziale ( tralasciando la notazione del limite) il procedimento era giusto anche se non risolutivo?
il risultato viene anche a me $18.$ Il teorema della media integrale è utile quando vuoi sbarazzarti dell'integrale.... in genere nello studio delle funzioni integrali un pò complicate è utile perchè ti consente di stimare la quantità dipendente da $lambda,$ che sai essere in ogni caso compreso tra gli estremi di integrazione.
in ogni caso, qui ci sono alcuni altri esempi di qualche giorno fa
limite-con-integrale-t107498.html
in ogni caso, qui ci sono alcuni altri esempi di qualche giorno fa
limite-con-integrale-t107498.html
grazie 
ma una cosa sul mio libro (e anche sugli appunti ) identificao il teorema della media (riporto l'esempio del tuo link) con
\[displaystyle \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt = \arctan (1/\xi)(2x-0)\] ovvero l'integrale è uguale alla funzione nell'intervallo per la differenza delgi estremi di integrazioe........come mai in questo caso è a denominatore?
ma una cosa sul mio libro (e anche sugli appunti ) identificao il teorema della media (riporto l'esempio del tuo link) con \[displaystyle \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt = \arctan (1/\xi)(2x-0)\] ovvero l'integrale è uguale alla funzione nell'intervallo per la differenza delgi estremi di integrazioe........come mai in questo caso è a denominatore?
anche un altra cosa:
se procedevo con la mia strada ovvero con \(\frac{2\gamma^2 3}{x^2}\) sostituendo gamma con gli estremi osservavo k il limite era compreso tra 6 e 18 quindi i conti dovrebbero tornare......
ma nel tuo link si procede con il teorema del confronto con la gamma a numeratore e x al denominatore e se lo avessi fatto nel mio esercizio avrei trovato un risultato sbagliato...da qui surge il mio dilemma:
-Come va trattata gamma?
-se è vero che per il teorema fondamentale del calcolo posso sostituire, nel limite, a gamma un valore esplicito preso nell'intervallo quando e come posso farlo? perchè, sempre nel mio caso, avrebbe dato esito positivo solo se avessi preso 3x e non un qualsiasi altro valore (ad esempio x)
se procedevo con la mia strada ovvero con \(\frac{2\gamma^2 3}{x^2}\) sostituendo gamma con gli estremi osservavo k il limite era compreso tra 6 e 18 quindi i conti dovrebbero tornare......
ma nel tuo link si procede con il teorema del confronto con la gamma a numeratore e x al denominatore e se lo avessi fatto nel mio esercizio avrei trovato un risultato sbagliato...da qui surge il mio dilemma:
-Come va trattata gamma?
-se è vero che per il teorema fondamentale del calcolo posso sostituire, nel limite, a gamma un valore esplicito preso nell'intervallo quando e come posso farlo? perchè, sempre nel mio caso, avrebbe dato esito positivo solo se avessi preso 3x e non un qualsiasi altro valore (ad esempio x)
ma infatti il risutato del limite fatto con il teorema della medi ain quel link viene sbagliato!
Anche io vorrei un chiarimento.. premesso che non faccio analisi da un po 
$lim_(x->0) (int_(0)^(3x) sin(t^2)dt)/(x(1-cos(x)))$ Applicando il marchese una volta ottengo:
$lim_(x->0) sin((3x)^2)/(1-cos(x)+xsin(x))$
$lim_(x->0) sin(9x^2)/(1-cos(x)+xsin(x))$
$lim_(x->0) (9x^2+o(x^2))/(x^2/2+x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (9x^2+o(x^2))/(3/2x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (9+o(1))/(3/2+o(1))=18/3=6$
Mi sembra più o meno ragionevole, ma come mai non mi trovo col vostro risultato?
$lim_(x->0) (int_(0)^(3x) sin(t^2)dt)/(x(1-cos(x)))$ Applicando il marchese una volta ottengo:
$lim_(x->0) sin((3x)^2)/(1-cos(x)+xsin(x))$
$lim_(x->0) sin(9x^2)/(1-cos(x)+xsin(x))$
$lim_(x->0) (9x^2+o(x^2))/(x^2/2+x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (9x^2+o(x^2))/(3/2x^2+o(x^2))$
$lim_(x->0) (9+o(1))/(3/2+o(1))=18/3=6$
Mi sembra più o meno ragionevole, ma come mai non mi trovo col vostro risultato?
"Obidream":
Anche io vorrei un chiarimento.. premesso che non faccio analisi da un po
$lim_(x->0) (int_(0)^(3x) sin(t^2)dt)/(x(1-cos(x)))$ Applicando il marchese una volta ottengo:
$lim_(x->0) sin((3x)^2)/(1-cos(x)+xsin(x))$
..a numeratore, la funzione è composta ... quindi la derivata è $3\cdot sin (3x)^2 $
Grazie, ora torna
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