Limite di un esponenziale
Ciao a tutti,
Sto andando in crisi con un limite.
Devo calcolare $ \lim_{x \to -1^-} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $
Il risultato dovrebbe essere $ 0 $ (come per $ \lim_{x \to -1^+} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ ), ma continua a venirmi una forma indeterminata per via di:
$ e^(-3/((-1^-)+1)) $ , cioè $ e^(-3/(0^-) $, quindi $ e^(\+infty) $
Pensando al grafico di $ e $ che tende ad infinito, alla fine mi viene la forma indeterminata $ (0) (\+infty) $... Cosa sto sbagliando?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Sto andando in crisi con un limite.
Devo calcolare $ \lim_{x \to -1^-} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $
Il risultato dovrebbe essere $ 0 $ (come per $ \lim_{x \to -1^+} (x^2-1)e^(-3/(x+1)) $ ), ma continua a venirmi una forma indeterminata per via di:
$ e^(-3/((-1^-)+1)) $ , cioè $ e^(-3/(0^-) $, quindi $ e^(\+infty) $
Pensando al grafico di $ e $ che tende ad infinito, alla fine mi viene la forma indeterminata $ (0) (\+infty) $... Cosa sto sbagliando?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Risposte
In realtà il limite per $x\to-1^-$ è $+\infty$, infatti hai che
$$\lim_{x\to -1^-} (x^2-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x+1)(x-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x-1)\frac{e^{-\frac{3}{x+1}}}{\frac{1}{x+1}}=+\infty$$
Dove ho usato il fatto che l'esponenziale tende a $+\infty$ più velocemente di quanto lo faccia $\frac{1}{x+1}$ e che il segno di $\frac{x-1}{\frac{1}{x+1}}$ è positivo, in quanto il numeratore $x-1$ tende a $-2$ e il denominatore $\frac{1}{x+1}$ è negativo al limite per $x\to-1^-$.
$$\lim_{x\to -1^-} (x^2-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x+1)(x-1)e^{-\frac{3}{x+1}}=\lim_{x\to -1^-} (x-1)\frac{e^{-\frac{3}{x+1}}}{\frac{1}{x+1}}=+\infty$$
Dove ho usato il fatto che l'esponenziale tende a $+\infty$ più velocemente di quanto lo faccia $\frac{1}{x+1}$ e che il segno di $\frac{x-1}{\frac{1}{x+1}}$ è positivo, in quanto il numeratore $x-1$ tende a $-2$ e il denominatore $\frac{1}{x+1}$ è negativo al limite per $x\to-1^-$.
Grazie per la risposta.
Evidentemente ho saltato qualcosa nello studio dei limiti, perché non mi è chiaro il motivo per cui si può dividere per $ \frac{1}{x+1} $, oltre alle considerazioni "questo 'prevale' su quest'altro"... Credo di averle lette in velocità ma pensavo fosse solo un aiuto a memorizzare il 'funzionamento' dei limiti.
Come si chiamano questi argomenti?
Scusate se sono domande banali, ma non potendo frequentare mi sto arrangiando come posso.
EDIT: Aspetta, ha a che fare con la regola per i prodotti indeterminati? Non mi sarebbe mai venuto in mente di dividere solo per $ \frac{1}{x+1} $. Avevo provato con l'intero $ \frac{1}{x^2-1} $, ma era uscita una forma indeterminata lo stesso.
Ma quindi dovrei andare per tentativi fino a quando non mi viene un risultato non indeterminato? Questo era un esercizio nei vecchi esami, perderò un sacco di tempo.
Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...
Evidentemente ho saltato qualcosa nello studio dei limiti, perché non mi è chiaro il motivo per cui si può dividere per $ \frac{1}{x+1} $, oltre alle considerazioni "questo 'prevale' su quest'altro"... Credo di averle lette in velocità ma pensavo fosse solo un aiuto a memorizzare il 'funzionamento' dei limiti.
Come si chiamano questi argomenti?
Scusate se sono domande banali, ma non potendo frequentare mi sto arrangiando come posso.
EDIT: Aspetta, ha a che fare con la regola per i prodotti indeterminati? Non mi sarebbe mai venuto in mente di dividere solo per $ \frac{1}{x+1} $. Avevo provato con l'intero $ \frac{1}{x^2-1} $, ma era uscita una forma indeterminata lo stesso.
Ma quindi dovrei andare per tentativi fino a quando non mi viene un risultato non indeterminato? Questo era un esercizio nei vecchi esami, perderò un sacco di tempo.
Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...
"zooropeanily":
Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...
Se arrivi da destra ma da sinistra, no …
"axpgn":
[quote="zooropeanily"]Comunque a me i calcolatori online danno tutti 0 come risultato finale...
Se arrivi da destra ma da sinistra, no …
[/quote]Eppure mi dà zero da entrambe le parti...
"-1"&assumption=%7B"FP"%2C+"Limit"%2C+"direction"%7D+->+"Right"&assumption=%7B"F"%2C+"Limit"%2C+"limitfunction"%7D+->"%28x%5E2-1%29e%5E%28-3%2Fx%2B1%29"&assumption=%7B"C"%2C+"limits"%7D+->+%7B"Calculator"%7D" rel="nofollow" target="_blank">https://www.wolframalpha.com/input/?i=limits&assumption=%7B"F"%2C+"Limit"%2C+"limit"%7D+->"-1"&assumption=%7B"FP"%2C+"Limit"%2C+"direction"%7D+->+"Right"&assumption=%7B"F"%2C+"Limit"%2C+"limitfunction"%7D+->"%28x%5E2-1%29e%5E%28-3%2Fx%2B1%29"&assumption=%7B"C"%2C+"limits"%7D+->+%7B"Calculator"%7D
Prego! Non ho diviso, ho riscritto $(x+1)(x-1)$ come $\frac{x-1}{\frac{1}{x+1}}$; stai sbagliando a scrivere l'esponenziale, se non metti la parentesi al denominatore dell'esponente dell'esponenziale il calcolatore pensa di dover dividere $-3$ solo per $x$ e non $-3$ per $x+1$, guarda qui https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... 1%29%29%29
Non conosco la "regola dei prodotti indeterminati", semplicemente si dimostra (criterio del rapporto per successioni e criterio successioni-funzioni) che gli esponenziali "dominano" sulle potenze di ogni grado (quando c'è tendenza all'infinito degli esponenziali e delle potenze suddette).
Non conosco la "regola dei prodotti indeterminati", semplicemente si dimostra (criterio del rapporto per successioni e criterio successioni-funzioni) che gli esponenziali "dominano" sulle potenze di ogni grado (quando c'è tendenza all'infinito degli esponenziali e delle potenze suddette).
AAAHN ok, grazie!
Ecco vedi, i criteri che hai citato non li ho studiati, quindi andrò a vedermeli.
Ecco vedi, i criteri che hai citato non li ho studiati, quindi andrò a vedermeli.
"Mephlip":
gli esponenziali "dominano" sulle potenze di ogni grado (quando c'è tendenza all'infinito degli esponenziali e delle potenze suddette).
Mmm... Ho una domanda: ma allora una volta notato $ e^(\+infty) $ avrei anche potuto "dimenticarmi" dello $ (0) $ che si genera da $ (x^2-1) $?
No: il confronto tra infiniti ha senso se è fatto in un rapporto (in effetti non l'ho spiegato bene, scusami), stavo confrontando $e^{-\frac{3}{x+1}}$ ed $\frac{1}{\frac{1}{x+1}}$.
Infatti in teoria sarebbe una forma del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, ma il numeratore tende all'infinito esponenzialmente e il denominatore tende all'infinito come una potenza e quindi torna tutto il discorso di prima.
Infatti in teoria sarebbe una forma del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, ma il numeratore tende all'infinito esponenzialmente e il denominatore tende all'infinito come una potenza e quindi torna tutto il discorso di prima.
Perfetto, grazie mille!
Ciao a tutti,
Riprendo questo topic perché la domanda è la stessa ma per una funzione diversa.
Ho difficoltà a risolvere i limiti tendenti ad infinito per questa funzione:
$ f(x)= (x-3) e^((x)/(1-x)) $
[strike]Facendo qualche rozzo calcolo con la calcolatrice, ho capito che l'esponenziale tende a $ e $ per $ x -> +- infty $ (perché l'esponente si avvicina a $ 1 $ al crescere di $ x $), ma[/strike] [EDIT, vedi messaggio successivo] vorrei capire come arrivarci con le regole del calcolo dei limiti.
Ne approfitto per un'altra domanda che riguarda invece il limite che tende a $ 1^- $ : quando vado a sostituire al numeratore dell'esponenziale, devo considerare $ 1 $ e non $ 1^- $, vero?
Grazie mille per il prezioso aiuto che mi state dando.
Riprendo questo topic perché la domanda è la stessa ma per una funzione diversa.
Ho difficoltà a risolvere i limiti tendenti ad infinito per questa funzione:
$ f(x)= (x-3) e^((x)/(1-x)) $
[strike]Facendo qualche rozzo calcolo con la calcolatrice, ho capito che l'esponenziale tende a $ e $ per $ x -> +- infty $ (perché l'esponente si avvicina a $ 1 $ al crescere di $ x $), ma[/strike] [EDIT, vedi messaggio successivo] vorrei capire come arrivarci con le regole del calcolo dei limiti.
Ne approfitto per un'altra domanda che riguarda invece il limite che tende a $ 1^- $ : quando vado a sostituire al numeratore dell'esponenziale, devo considerare $ 1 $ e non $ 1^- $, vero?
Grazie mille per il prezioso aiuto che mi state dando.
Mi sa che ti sbagli …
L'esponente dell'esponenziale tende a $-1$, non a $1$; lo vedi con la tecnica standard di raccogliere il termine dominante all'infinito.
Hai che
$$\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{x\left(\frac{1}{x}-1\right)}\right)=\exp(-1)=\frac{1}{e}$$
Hai un risultato analogo per $x\to -\infty$, non capisco quindi come dalla calcolatrice (tecnica che personalmente sconsiglio) tu abbia dedotto che l'esponente dell'esponenziale tenda ad $1$.
Il problema con la storia di $1^-$ è che a te interessa soltanto il segno del rapporto all'esponente dell'esponenziale: il denominatore tende a zero e ti interessa solo sapere se tende a zero da destra o da sinistra. Quindi il numeratore, non tendendo ad un valore "soglia" che può cambiare segno a seconda che tu stia tendendo ad $1$ da destra o da sinistra, è ininfluente sul segno del rapporto, che tenda a $1^-$ o $1$.
Hai che
$$\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x}{x\left(\frac{1}{x}-1\right)}\right)=\exp(-1)=\frac{1}{e}$$
Hai un risultato analogo per $x\to -\infty$, non capisco quindi come dalla calcolatrice (tecnica che personalmente sconsiglio) tu abbia dedotto che l'esponente dell'esponenziale tenda ad $1$.
Il problema con la storia di $1^-$ è che a te interessa soltanto il segno del rapporto all'esponente dell'esponenziale: il denominatore tende a zero e ti interessa solo sapere se tende a zero da destra o da sinistra. Quindi il numeratore, non tendendo ad un valore "soglia" che può cambiare segno a seconda che tu stia tendendo ad $1$ da destra o da sinistra, è ininfluente sul segno del rapporto, che tenda a $1^-$ o $1$.
"Mephlip":
non capisco quindi come dalla calcolatrice (tecnica che personalmente sconsiglio) tu abbia dedotto che l'esponente dell'esponenziale tende ad $1$.
No scusatemi tanto, ho sbagliato: avevo dimenticato il segno meno.
Grazie mille Mephlip, adesso mi è chiaro: non mi sembrava lecito usare la tecnica che hai descritto solo all'esponenziale, tralasciando $ (x-3) $. Ottenevo così $ (1-0) $ e mi mandava in pappa il calcolo.
Prego! Non è che lo tralasci, è che raccogliendo elimini la forma indeterminata all'esponente dell'esponenziale e tutto tende pacificamente ad $\infty$ o a $-\infty$ dopo aver raccolto (nel caso di $x \to \pm \infty$); quindi non hai più problemi.
Tuttavia ora non ho capito proprio da quale calcolo possa uscire fuori $(1-0)$
Tuttavia ora non ho capito proprio da quale calcolo possa uscire fuori $(1-0)$
Avevo raccolto la $ x $ anche su $ (x-3) $ (poi io in realtà non "raccolgo" ma "divido tutto per", non so se le due cose siano sempre equivalenti), ottenendo così $ 1-(3/infty) $ ...
Ah okay, pensavo fosse il risultato di tutto il limite (esponenziale compreso) e non mi tornavano proprio i conti neanche con le più fantasiose manipolazioni algebriche; chiaramente ti rimane una $x$ davanti a tutto che manda comunque tutto a $\pm \infty$ per $x \to \pm \infty$.
Devi moltiplicare e dividere però, altrimenti non ha proprio senso: non so se intendevi questo e semplicemente non hai trascritto bene sul forum, insomma dovresti fare una cosa del genere
$$\lim_{x \to \infty} (x-3)\exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}(x-3)\exp\left(\frac{x}{\frac{x}{x}(1-x)}\right)=$$
$$=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{3}{x}\right)\exp\left(\frac{1}{\frac{1}{x}-1}\right)=\infty$$
Devi moltiplicare e dividere però, altrimenti non ha proprio senso: non so se intendevi questo e semplicemente non hai trascritto bene sul forum, insomma dovresti fare una cosa del genere
$$\lim_{x \to \infty} (x-3)\exp\left(\frac{x}{1-x}\right)=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}(x-3)\exp\left(\frac{x}{\frac{x}{x}(1-x)}\right)=$$
$$=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{3}{x}\right)\exp\left(\frac{1}{\frac{1}{x}-1}\right)=\infty$$
E invece mi hai rivelato quale altro errore facevo: "dividendo tutto per" anziché "raccogliere", nel caso di $ (x-3) $ si perde la $ x $ che mi permette di ottenere l'infinito.
Cioè ottenevo questo:
$ lim_(x -> infty) (x-3)e^((x)/(1-x)) = (1-0)e^(1/(0-1) $
Grazie mille davvero per tutti i chiarimenti!
Cioè ottenevo questo:
$ lim_(x -> infty) (x-3)e^((x)/(1-x)) = (1-0)e^(1/(0-1) $
Grazie mille davvero per tutti i chiarimenti!
Prego! Meno male che è uscito fuori questo aspetto, non ha senso perché quella divisa per $x$ è tutta un'altra funzione e quindi non stai riscrivendo la stessa cosa in un altro modo; invece moltiplicando e dividendo per $x$ stai sostanzialmente sfruttando il fatto di scrivere $1$ in una delle sue forme, ossia se $x \ne 0$ è $1=\frac{x}{x}$.
Essendo $1$ l'elemento neutro per il prodotto, la funzione scritta come nel mio ultimo messaggio è equivalente a quella di partenza.
Come già parlavo con @axpgn in un altro post, quest'ultimo aspetto uscito ora evidenzia ancora di più quanto sia importante riportare quante più informazioni possibili in un post (a volte anche i conti più spiccioli) se si vuole ottenere un aiuto che sia il più efficiente possibile.
Essendo $1$ l'elemento neutro per il prodotto, la funzione scritta come nel mio ultimo messaggio è equivalente a quella di partenza.
Come già parlavo con @axpgn in un altro post, quest'ultimo aspetto uscito ora evidenzia ancora di più quanto sia importante riportare quante più informazioni possibili in un post (a volte anche i conti più spiccioli) se si vuole ottenere un aiuto che sia il più efficiente possibile.
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