Limite di [tex]\frac{log(n)}{n^\beta}[/tex] al variare di $\beta$

[koloko]

Stavo studiando il limite per $n$ che tende ad infinito di [tex]\frac{log(n)}{n^\beta}[/tex]
al variare di $\beta$
Siccome [tex]0^\infty[/tex] è forma indeterminata, nel caso $\beta=0$ io subito avevo scritto "è forma indeterminata perché si avrebbe [tex]\frac{log(\infty)}{\infty^0}[/tex]"
Invece il libro dice che si ottiene $\infty$
Provando a vedere i passaggi su WolframAlpha ottengo
[tex]\frac{log(n)}{n^0}=log(n)=\infty[/tex]

Dove sbaglio nel mio ragionamento?

[Brancaleone1]

Basta sostituire: $beta$ è un parametro, non una variabile.

[Meringolo1]

$\infty^0$ non dovrebbe essere forma indeterminata, in quanto qualsiasi numero elevato a $0$ fa $1$.

Quindi quello che resta è semplicemente $log(n)$ e questo tende a $\+ infty$

[Brancaleone1]

"Meringolo":$\infty^0$ non dovrebbe essere forma indeterminata, in quanto qualsiasi numero elevato a $0$ fa $1$.

Non è così
$oo^0$ è una forma indeterminata: prova a calcolare

$lim_(x->+oo)x^(1/ln(x))$

[Meringolo1]

Chiedo venia

[Black Magic]

$$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{log(n)}{n^\beta} = +\infty$$

Vuol dire che $\forall M>0$ $ \exists N : \forall n>N$ risulta $ \frac{log(n)}{n^\beta}>M$.


Ma questo, come puoi vedere, si verifica sicuramente se $\beta=0$.


Non devi sostituire $\infty$ a $n^0$, non stai calcolando il valore della funzione in $+\infty$, ma stai calcolando il suo comportamento (limite) in ogni suo intorno.