Limite di successioni da un TE di UniBS

[neperoz]

Buongiorno sto risolvendo questo esercizio da un tema d'esame del 14 gennaio 2019 e mi manca di capire un ultimo passaggio. Trascrivo il testo e il mio svolgimento.

Il limite: $lim_{n to +infty}([(n+7)^n+(1/3)^n](n^(1/n)-1)(n!+1))/((1+n)^n(n-1)!ln(n+1))$
Il risultato: $e^6$

Ho semplificato così le varie parti:

$(n+7)^n+(1/3)^n = n^n(1+7/n)^n+0 = n^n*e^7$
$n!+1 ~ n! = n(n-1)!$
$n^n(1+1/n)^n = n^n*e$

E poi ho riscritto:

$lim_{n to +infty}(n^n*e^7(n^(1/n)-1)n(n-1)!)/(n^n*e*(n-1)!ln(n+1)) =$

$lim_{n to +infty}((n^n*e^7)/(n^n*e))*((n^(1/n)-1)n)/(ln(n+1)) =$

A questo punto immagino che il secondo termine tenda ad 1, ma non riesco a capire come/perché (sempre ammesso che i passaggi precedenti siano corretti). Ho provato ad estrarre $n$ dall'argomento del logaritmo ma al massimo riesco ad arrivare ad una somma di $ln(n) + 1/n$ che non mi porta da nessuna parte. Quanto riguarda radice di n so che all'infinito risulta $1$ ma non riesco a ricordare limiti notevoli/asintotici utili. Spero qualcuno sappia aiutarmi, grazie.

[Mephlip]

Suggerimento: dato che l'inversa di $\text{exp}$ è $\text{log}$, hai che $n^{\frac{1}{n}}-1=e^{\log \left(n^{\frac{1}{n}}\right)}-1=e^{\frac{1}{n} \log n}-1$. Dato che $\frac{1}{n}\log n \to 0$ per $n \to \infty$, puoi applicare il limite notevole dell'esponenziale $\lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t}=1$.

Comunque, non si va al limite a pezzi. Se non sai controllare bene gli asintotici e non ti appoggi a dei teoremi algebrici sul calcolo deli limiti, si cade facilmente in errore mandando $n$ ad $\infty$ solo in alcuni fattori della successione sotto il segno di limite (invece di mandare tutta la successione al limite, come andrebbe fatto se non si argomenta rigorosamente perché si stanno mandando solo alcuni pezzi; ad esempio, teorema sui limiti della somma/prodotto quando i singoli termini non presentano forme indeterminate).

P.S.: Hai studiato gli sviluppi di Taylor?

[neperoz]

Ah ecco. Avevo pensato a tutto fuorché il passaggio a $exp$. Grazie mille!
Si hai ragione, ho fatto un po' una cosa poco elegante, bensì sapessi che andare al limite a pezzi non sia lecito, volevo visualizzare tutti i termini e le loro semplificazioni per bene; anche se dal punto di vista formale è terribile e rischio di dimenticarmi che magari altri termini non li ho mandati a $infty$. Cercherò di evitare trascrizioni del genere.
Per quanto riguarda Taylor sì, l'avrei usato per il limite notevole che hai detto tu, se l'avessi visto!
Grazie ancora, e buona giornata