Limite di Successione - Teorema di Cauchy
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e mi servirebbe un chiarimento sul teorema di Cauchy per risolvere un limite di successione. Il limite di successione è questo qui di sotto
$ lim n to +∞ ((n!)/(2^(n^2)))^(1/n) $
Inizio col dire che (per me, correggete se sbaglio) questa è una formula infinito ^ 0 in quanto, per ordine di infiniti n! > 2^n^2 e 1 su infinito = 0. Normalmente risolvere con la solita formula di infinito ^0 e cioè e ^ argomento. Risultato + infinito. Ma purtroppo non è così, devo applicare il teorema. Applicandolo ho questi procedimenti
$ lim n to +∞ (sqrt((n!)/2^(n^2)))^(1/n) $
$ lim n to +∞ [((n!)/2^(n^2))^(1/2)]^(1/n) $
$ lim n to +∞ ((n!)/2^(n^2))^(1/(2n) $
Arrivato a questo punto, sempre se tutto sia giusto, mi calcolo numeratore e denominatore separatamente ottenendo
$ lim n to ∞ (n!)^(1/(2n)) $
$ lim n to ∞ (2^(n^2))^(1/(2n)) $
Ottengo la forma inifinito^0 per entrambi e, risolvendo allo stesso modo, ottengo che entrambi mi tornato a +infinito.
Presumendo che non abbia sbagliato niente, come faccio a dare un risultato visto che infinito/infinito è una forma indeterminata? Nel caso abbia sbagliato, fatemi sapere dove
Grazie mille a tutti per l'aiuto Spero di essere stato il più chiaro possibile
$ lim n to +∞ ((n!)/(2^(n^2)))^(1/n) $
Inizio col dire che (per me, correggete se sbaglio) questa è una formula infinito ^ 0 in quanto, per ordine di infiniti n! > 2^n^2 e 1 su infinito = 0. Normalmente risolvere con la solita formula di infinito ^0 e cioè e ^ argomento. Risultato + infinito. Ma purtroppo non è così, devo applicare il teorema. Applicandolo ho questi procedimenti
$ lim n to +∞ (sqrt((n!)/2^(n^2)))^(1/n) $
$ lim n to +∞ [((n!)/2^(n^2))^(1/2)]^(1/n) $
$ lim n to +∞ ((n!)/2^(n^2))^(1/(2n) $
Arrivato a questo punto, sempre se tutto sia giusto, mi calcolo numeratore e denominatore separatamente ottenendo
$ lim n to ∞ (n!)^(1/(2n)) $
$ lim n to ∞ (2^(n^2))^(1/(2n)) $
Ottengo la forma inifinito^0 per entrambi e, risolvendo allo stesso modo, ottengo che entrambi mi tornato a +infinito.
Presumendo che non abbia sbagliato niente, come faccio a dare un risultato visto che infinito/infinito è una forma indeterminata? Nel caso abbia sbagliato, fatemi sapere dove
Grazie mille a tutti per l'aiuto
Spero di essere stato il più chiaro possibile
Risposte
"Brandz":
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e mi servirebbe un chiarimento sul teorema di Cauchy per risolvere un limite di successione.
A quale teorema di Cauchy stai facendo riferimento?
Ce ne sono millemila...
"Brandz":
Il limite di successione è questo qui di sotto
$ lim n to +∞ ((n!)/(2^(n^2)))^(1/n) $
Inizio col dire che (per me, correggete se sbaglio) questa è una formula infinito ^ 0 in quanto, per ordine di infiniti n! > 2^n^2 e 1 su infinito = 0.
Come l'hai ricavata questa conclusione?
Vedi che è sbagliata.
"Brandz":
Normalmente risolvere con la solita formula di infinito ^0 e cioè e ^ argomento. Risultato + infinito. Ma purtroppo non è così [...]
"Normalmente" avresti sbagliato... Dove l'hai visto scritto questo metodo?
Per il resto, non so che dire.
Intanto grazie mille per avermi risposto, passando alle tue domande
Non l'ho ricavata, l'esercizio inizia così come descritto, dicendomi di calcolare il limite di successione.
Girovagando su internet ho trovato questo metodo, in più ho usato la dispensa che il professore ci ha consigliato di comprare.
Precisamente l'esercizio si riferisce al "Criterio della Radice". Se anche questa risposta è sbagliata allora non so neanche io a cosa si riferisce
"gugo82":
Come l'hai ricavata questa conclusione?
Non l'ho ricavata, l'esercizio inizia così come descritto, dicendomi di calcolare il limite di successione.
"gugo82":
"Normalmente" avresti sbagliato... Dove l'hai visto scritto questo metodo?
Girovagando su internet ho trovato questo metodo, in più ho usato la dispensa che il professore ci ha consigliato di comprare.
"gugo82":
A quale teorema di Cauchy stai facendo riferimento?
Ce ne sono millemila...
Precisamente l'esercizio si riferisce al "Criterio della Radice". Se anche questa risposta è sbagliata allora non so neanche io a cosa si riferisce
"Brandz":
[quote="gugo82"]
Come l'hai ricavata questa conclusione?
Non l'ho ricavata, l'esercizio inizia così come descritto, dicendomi di calcolare il limite di successione.[/quote]
Intendevo dire: come hai ricavato il fatto che \(n!\) è di ordine superiore a \(2^{n^2}\)?
"Brandz":
[quote="gugo82"]"Normalmente" avresti sbagliato... Dove l'hai visto scritto questo metodo?
Girovagando su internet ho trovato questo metodo, in più ho usato la dispensa che il professore ci ha consigliato di comprare.[/quote]
E le dispense ti dicono che, in ogni caso possibile una forma indeterminata del tipo \(\infty^0\) dà sempre \(e^\infty=\infty\) come risultato?
Ma sei proprio sicuro?
"Brandz":
[quote="gugo82"]A quale teorema di Cauchy stai facendo riferimento?
Ce ne sono millemila...
Precisamente l'esercizio si riferisce al "Criterio della Radice". Se anche questa risposta è sbagliata allora non so neanche io a cosa si riferisce
[/quote]Ok.
Allora la tua soluzione è sbagliata. Perché?
Leggi bene l'enunciato del teorema.
"gugo82":
Intendevo dire: come hai ricavato il fatto che \(n!\) è di ordine superiore a \(2^{n^2}\)?
Ho studiato i cosiddetti "Ordini di Infiniti" dove n! > n^alfa (in questo caso ho presunto alfa = 2^n)
"gugo82":
Ma sei proprio sicuro?
Nono, forse mi sono spiegato male. Intendevo che le forme indeterminate infinito^0 si risolvono ponendo e^l'argomento del limite. Poi ovvio che il risultato può variare.. Dipende dall'argomento del limite.
"gugo82":
Ok.
Allora la tua soluzione è sbagliata. Perché?
Se lo sapevo adesso non eravamo qui a discuterne
XD. Sinceramente l'enunciato del teorema non mi fa capire molto, preferisco avere degli esercizi e imparare i vari metodi di risoluzione.[size=150]EDIT[/size]: Ho ricontrollato la F.I. riguardante infinito^0 e mi sono accorto che manca un bel pò di formula. Rifacendo i conti mi sono accorto di un altro errore. Ho provveduto a correggere e rifare gli eventuali conti. La successione (sempre se non è sbagliato) tende a 1. Puoi confermare?
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